Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour,
1.a) Il faut trouver les valeurs de x tels que x-2 soit 0 pour que f ne soit pas définie. C'est pour x = 2.
b) Prenons x réel quelconque différent de 2
[tex]3x^2-7x+4=cx(x-2)+b(x-2)+a\\\\=cx^2-2xc+bx-2b+a\\\\=cx^2+(b-2c)x+a-2b[/tex]
Par identification des coefficients des polynômes, cela donne
c = 3
b-2c=-7 , cela donne b = -7+6=-1
a-2b=4, donc a = 4 - 2 = 2
[tex]\large \boxed{\sf \bf f(x)=3x-1+\dfrac{2}{x-2}}[/tex]
c)
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \ f(x) = \lim_{x\rightarrow+\infty} \ 3x-1\\ \\\lim_{x\rightarrow-\infty} \ f(x) = \lim_{x\rightarrow-\infty} \ 3x-1[/tex]
y = 3x-1 est une asymptote en + et - l infini.
x = 2 est asymptote au voisinage de 2
2. Le chiffre recherché moins 2 doit être un multiple de 20, 25 et 30.
Comme
20 = 4*5
25 = 5*5
30 = 6*5
On cherche un multiple de 4*5*6=120
120*5=600
120*6=720
Donc entre 600 et 700 on a 600+2=602 qui convient.
3. Pour enlever les formes indéterminées on multiplie par le conjugué.
[tex]\forall x \in \mathbb{R}/\{2\}\\\\\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}=\dfrac{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}\\\\=\dfrac{(x+2-2^2)}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}==\dfrac{(x-2)}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}\\\\=\dfrac{1}{(\sqrt{x+2}+2)}[/tex]
et donc p = 1/(2+2)=1/4
On fait de même pour q
[tex]\forall x \in \mathbb{R}/\{2\}\\\\\dfrac{x-\sqrt{x+2}}{\sqrt{4x+1}-3}=\dfrac{(\sqrt{4x+1}+3)(x-\sqrt{x+2})(x+\sqrt{x+2})}{(\sqrt{4x+1}-3)(\sqrt{4x+1}+3)(x+\sqrt{x+2})}\\\\=\dfrac{(\sqrt{4x+1}+3)(x^2-x-2)}{(x+\sqrt{x+2})(4x+1-9)}\\\\=\dfrac{(\sqrt{4x+1}+3)(x-2)(x+1)}{(x+\sqrt{x+2})4(x-2)}\\\\=\dfrac{(\sqrt{4x+1}+3)(x+1)}{4(x+\sqrt{x+2})}\\[/tex]
et donc q = (6*3)/(4*4)=9/8
et donc 4p=1 8q=9 et 3r=9-1=8
[tex]\large \boxed{\sf \bf r=\dfrac{8}{3} \ }[/tex]
4.
La racine carrée de 2x-6 au voisinage de -1 n'est pas définie sur les réels.
Et sur les nombres complexes, il faudrait définir une racine carrée, ce qui n'est pas évident puisque l'ensemble des nombres complexes n 'est pas ordonné.
Merci
