Réponse : [tex]x[/tex]∈]-7;-1[
Explications étape par étape
Bonjour,
Dans ce cas faut tout d'abord développer au maximum ce qui peut l'être:
[tex]-5(x+4)^{2}+40>-5\\ donc -5[(x+4)(x+4)]+40>-5\\donc -5( x^2+4x+4x+16)+40>-5\\donc -5(x^2+8x+16)+40>-5\\donc -5x^2-40x-80+40>-5\\donc -5x^2-40x-40>-5\\[/tex]
Ensuite tu passes tout d'un coté:
[tex]-5x^2-40x-40>-5\\donc -5x^2-40x-40+5>0\\donc -5x^2-40x-35>0\\[/tex]
Tu obtiens donc un polynome du second degré
En utilisant la formule (ci-dessous) que tu as dû avoir en cours, calcule le discriminant ( aussi appelé le "delta" noté Δ):
Si l'équation est du type [tex]ax^2+bx+c[/tex] (=polynome du second degré) alors Δ=[tex]b^2-4ac[/tex]
Dans ton cas a=-5 b=-40 et c=-35
donc Δ=[tex](-40)^2-4(-5)(-35)=(-40)(-40)-700=1600-700=900[/tex]
donc Δest positif donc ce polynome possède 2 racines [tex]x_{1}[/tex] et [tex]x_{2}[/tex]
Tu utilises ensuite la formule pour les trouver à savoir:
[tex]x_{1}= \frac{-b+\sqrt{delta} }{2a} =\frac{-(-40)+\sqrt{900} }{-10}=\frac{40+30}{-10}=\frac{70}{-10}=-7\\x_{2}=\frac{-b-\sqrt{delta} }{2a} =\frac{-(-40)-\sqrt{900} }{-10} =\frac{40-30}{-10} =\frac{10}{-10}=-1\\[/tex]
or on sait d'après le cours que le polynome est du signe de [tex]a[/tex] à l'extérieur des racines et du signe de [tex]a[/tex] entre les racines ( ce qui veut dire que si [tex]a[/tex] est positif alors le polynome est positif de -∞ à [tex]x_{1}[/tex] et de [tex]x_{2}[/tex] à +∞ et négatif entre [tex]x_{1}[/tex] et [tex]x_{2}[/tex]
inversement: si [tex]a[/tex] est négatif alors le polynome est négatif de -∞ à [tex]x_{1}[/tex] et de [tex]x_{2}[/tex] à +∞ et positif entre [tex]x_{1}[/tex] et [tex]x_{2}[/tex] )
Ici [tex]a=-5[/tex] donc [tex]a[/tex] est négatif donc le polynome [tex]-5x^2-40x+45[/tex] est négatif de -∞ à -7 et de -1 à +∞ et positif entre -7 et -1
Donc si [tex]-5x^2-40x+45>0[/tex] alors [tex]x[/tex]∈]-7;-1[
Dit d'une autre façon: si [tex]-5x^2-40x+45>0[/tex] alors -7<[tex]x[/tex]<-1
