Bonjour,
1.
[tex]S_0=1+\dfrac{1}{2}\\ \\S_1=\dfrac{1}{2^1+1}+\dfrac{1}{2^1+2^1}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\\ \\S_2=\dfrac{1}{2^2+1}+\dfrac{1}{2^2+2}+\dfrac{1}{2^2+3}+\dfrac{1}{2^2+4}\\ \\=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}[/tex]
2.a.
[tex]\forall k \in \mathbb{N}; 0\leq k\leq 2^n\\ \\\displaystyle 0\leq 2^n+k\leq 2^n+2^n\\ \\\text{Donc, comme la fonction inverse est decroissante sur cet intervalle.}\\ \\\dfrac{1}{2^n+k}\geq \dfrac{1}{2^n+2^n} \\ \\\text{sachant que les termes de la somme sont } \ {\dfrac{1}{2^n+k} \\ \\\text{pour k allant de 0 a }2^n[/tex]
b. Le nombre de termes de la somme est [tex]2^n[/tex] comme on va de k=1, 2 etc jusqu'à [tex]2^n[/tex], donc en utilisant la question précédente, nous pouvons écrire.
[tex]\displaystyle \\S_n=\sum_{k=0}^{k=n} \ \dfrac{1}{2^n+k} \geq \dfrac{2^n}{2^n+2^n}=\dfrac{1}{2}[/tex]
3. Voyons les premiers termes.
[tex]u_1=1\\\\u_2=1+\dfrac{1}{2}\\\\u_2=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\\\\[/tex]
a.
[tex]S_0+S_1+S_2=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}=u_8[/tex]
b.
De même,
[tex]S_0+S_1+S_2+S_3=u_{2\times2^3}=u_{16}[/tex]
c.
Démontrons par récurrence que
[tex]\displaystyle \sum_{k=0}^{k=n} \ S_k=u_{2^{n+1}[/tex]
Etape 1 - C'est vrai pour n = 2 comme démontré en a.
Etape 2 - Supposons que cela soit vrai pour k entier supérieur à 2
[tex]\displaystyle \sum_{p=0}^{p=k+1} \ S_p=\sum_{p=0}^{p=k} \ (S_p)+S_{k+1}=u_{2^{k+1}}+S_{k+1}[/tex]
par hypothèse de récurrence
et [tex]S_{k+1}=\dfrac{1}{2^{k+1}+1}+\dfrac{1}{2^{k+1}+2}+...+\dfrac{1}{2^{k+1}+2^{k+1}}[/tex]
On reconnait les termes qui complètent [tex]u_{2k+1}[/tex] pour arriver jusqu'à [tex]u_{2k+2}[/tex]
car [tex]2^{k+1}+2^{k+1}=2\times2^{k+1}=2^{k+2}[/tex]
Etape 3 - conclusion
Nous venons de démontrer que pour tout n entier supérieur à 2
[tex]\displaystyle \Large \boxed{\sf \bf \sum_{k=0}^{k=n} \ S_k=u_{2^{n+1}}}[/tex]
Merci
