Réponse :
étudier la monotonie des suites (Un) ; (Vn) et (Wn)
Un = - n² + 5 n
on utilise la méthode Un = f(n)
soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; + ∞[ et (Un) la suite définie par Un = f(n)
étant donné que Un = f(n) où f(x) = - x² + 5 x donc étudions les variations de f sur [0 ; + ∞[
f est dérivable sur [0 ; + ∞[ et f '(x) = - 2 x + 5
x 0 5/2 + ∞
- 2 x + 5 + 0 -
f '(x) ≥ 0 sur l'intervalle [0 ; 5/2] ⇒ f est croissante sur [0 ; 5/2] donc (Un) est croissante sur N ( 0 ≤n≤3)
f '(x) ≤ 0 sur l'intervalle [5/2 ; + ∞[ ⇒ f est décroissante sur [5/2; + ∞[ donc (Un) est décroissante sur Nn≥3
Vn = 5 x 2ⁿ
on utilise la méthode Vn+1/Vn lorsque les termes de la suite (Vn) sont strictement positifs on compare Vn°1/Vn par rapport à 1
Vn+1/Vn = 5 x 2ⁿ⁺¹/5 x 2ⁿ = (5 x 2ⁿ) x 2)/(5 x 2ⁿ) = 2
Vn+1/Vn = 2 > 1 donc la suite (Vn) est croissante sur N
Wn = 2 - 3 n
Wn+1 - Wn = 2 - 3(n+1) - (2 - 3 n) = 2 - 3 n - 3 - 2 + 3 n = - 3
Wn+1 - Wn = - 3 < 0 donc la suite (Wn) est décroissante sur N
Explications étape par étape