Réponse :
U0 = 1
Un+1 = Un/(1+Un)
1) calculer les cinq premiers termes de la suite
U1 = U0/(1+U0) = 1/(1+1) = 1/2
U2 = U1/(1+U1) = 1/2/(1 + 1/2) = 1/2/3/2 = 1/3
U3 = U2/(1+U2) = 1/3/(1 + 1/3) = 1/3/4/3 = 1/4
U4 = U3/(1+U3) = 1/4/(1 + 1/4) = 1/4/5/4 = 1/5
U5 = U4/(1 + U4) = 1/5/(1 + 1/5) = 1/5/1/6 = 1/6
2) conjecturer la formule du terme générale Un
pour tout entier naturel n Un = 1/(1 + n)
3) comment peut-on vérifier la cohérence de la conjecture ci-dessus à la calculatrice
il suffit de prendre les valeurs de n de 0 jusqu'à 5 par exemple et vérifier la formule
4) soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; + ∞[ telle que pour tout n naturel Un = f(n)
a) donner l'expression de la fonction f
f(x) = 1/(1 + x)
b) étudier les variations de la fonction f sur [0 ; + ∞[
f '(x) = - 1/(1 + x)² or (1 + x)² > 0 et - 1 < 0 donc f '(x) < 0 alors f est strictement décroissant sur [0 ; + ∞[
c) en déduire le sens de variation de la suite (Un)
puisque Un = f(n) et puisque f(x) est décroissante sur [0 ; + ∞[ alors (Un) est croissante sur N
5) a) représentation graphique
tu peux le faire seul
b) on voit bien que plus que n augmente Un diminue donc
lim (Un) = 0
n→+∞
Explications étape par étape
