anaellerobert18
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Bonjour je suis un terminale avec specialite math et je n'arrive pas a ces questions.
On considère la suite (un) définie par
U0 = 0 et pour tout entier naturel n, Un+1 = Un + 2n +2.
2. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (vn) par Vn = Un+1 - Un.
a) Exprimer vn en fonction de n et en déduire la nature de la suite (vn)
b) On définit, pour tout entier naturel n, Rn = Vo + v1+...+ Vn.
Déterminer l'expression de Rn en fonction de n.
c) Montrer que, pour tout entier naturel n, Rn = Un+1 - Uo.
d) Utiliser les questions précédentes pour déterminer l'expression de un en fonction de n.​

Sagot :

broucealways

Explications étape par étape:

Salut,

2a) Il suffit de calculer méthodiquement : Vn = Un+1 - Un = 2n + 2. Vn est donc une suite arithmétique de raison 2, et de 1er terme V0 = 2. On peut le vérifier : U1 = U0 + 2 = 2 et V0 = U1 - U0 = 2.

B) Tu peux calculer manuellement cette somme, ou formellement en fonction de ton niveau. Formellement, tu as : Rn = Somme de k allant de 0 à n de (2k + 2) = 2*[Somme de k allant de 0 à n de k] + 2*(n+1) (car on somme n+1 fois le chiffre 2) par linéarité de ta somme.

Tu déduis que Rn = 2*n(n+1)/2 + 2*(n+1) = n(n+1) + 2*(n+1) = (n+1)(n+2).

C) Même chose que précédemment, étant donné que Vn = Un+1 - Un, formellement tu déduis ;

Rn = Somme de k allant de 0 à n de (Uk+1 - Uk) = Somme de k allant de 0 à n de Uk+1 - Somme de k allant de 0 à n de Uk.

Tu as aussi Somme de k allant de 0 à n de Uk+1 = Somme de k allant de 1 à n+1 de Uk par changement d'indice.

Il restera donc après différence, Un+1 - U0 (peut-être l'as-tu vu en cours, il s'agit d'une somme télescopique, tous les termes sont supprimés, sauf le premier et le dernier).

D) Par la question précédente, il s'ensuit que Un+1 = Rn + U0. Or, Un+1 = Un + 2n + 2 d'où Rn + U0 = Un + 2n + 2, donc Un = Rn + U0 - 2n - 2 = (n+1)(n+2) - 2n - 2.

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