Bonjour,
Exo 1
[tex]\forall n \in \mathbb{N}\\\\u_{n+1}-u_n=1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2^{n+1}}-(n+1)-1-\dfrac{1}{2}-...-\dfrac{1}{2^n}+n\\\\=\dfrac{1}{2^{n+1}}+n-n-1\\\\=\dfrac{1-2^{n+1}}{2^{n+1}}<0[/tex]
Donc la suite [tex](u_n)[/tex] est décroissante.
2.
[tex]\displaystyle u_n=\sum_{k=0}^{k=n} \ {\dfrac{1}{2^k}} - n\\\\=\dfrac{1-\dfrac{1}{2^{n+1}}}{1-\dfrac{1}{2}}-n\\\\=2\dfrac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}-n\\\\\boxed{=\dfrac{2^{n+1}-n2^n-1}{2^n}}[/tex]
Exo 2
[tex]u_0=1\\ \\u_1=\dfrac{1+4}{3}=\dfrac{5}{3}\\ \\u_2=\dfrac{\dfrac{5}{3}+4}{3}=\dfrac{5+12}{9}=\dfrac{17}{9}\\\\u_3=\dfrac{\dfrac{17}{9}+4}{3}=\dfrac{17+4*9}{27}=\dfrac{53}{27}\\\\u_4=\dfrac{\dfrac{53}{27}+4}{3}=\dfrac{53+4*27}{27}=\dfrac{161}{81}\\\\u_5=\dfrac{\dfrac{161}{81}+4}{3}=\dfrac{161+4*81}{243}=\dfrac{485}{243}\\\\u_6=\dfrac{\dfrac{485}{243}+4}{3}=\dfrac{485+4*243}{729}=\dfrac{1457}{729}\\[/tex]
[tex]\forall n \in \mathbb{N}\\v_n=u_n-a<=>u_n=v_n+a\\\\3v_{n+1}+3a=v_n+a+4\\\\\text{Si je prends }a=2\\\\3v_{n+1}+6=v_n+2+4<=>v_{n+1}=\dfrac{1}{3}v_n[/tex]
C'est une suite géométrique, je sais calculer le terme en fonction de n.
[tex]v_0=u_0-2=1-2=-1\\\\v_n=v_0\times \dfrac{1}{3^n}=-\dfrac{1}{3^n}\\\\u_n=v_n+2\boxed{=2-\dfrac{1}{3^n}}[/tex]
Merci
