Réponse : Bonjour,
Soit C l'évènement, "La personne est contaminée", P, "La personne est testée positive", N, "La personne est testée négative".
D'après l'énoncé, P(C)=0,09, d'où [tex]P(\overline{C})=0,91[/tex].
D'après la formule sur les probabilités conditionnelles:
- [tex]P(C)=P_{P}(C) \times P(P)+P_{N}(C) \times P(N)[/tex]
- [tex]P(\overline{C})=P_{P}(\overline{C}) \times P(P)+P_{N}(\overline{C}) \times P(N)[/tex].
Comme parmi les personnes testées positives, 5% ne sont pas contaminées, donc [tex]P_{P}(\overline{C})=0,05[/tex], et donc 95% sont réellement contaminées, donc [tex]P_{P}(C)=0,95[/tex].
Comme parmi les personnes testées négatives, 5% sont contaminées, donc [tex]P_{N}(C)=0,05[/tex], et donc 95%, ne sont pas contaminées, donc [tex]P_{N}(\overline{C})=0,95[/tex].
On a donc le système de deux équations suivant:
[tex]\displaystyle \left \{ {{0,95 \times P(P)+0,05 \times P(N)=0,09} \atop {0,05 \times P(P)+0,95 \times P(N)=0,91}} \right. \\\Leftrightarrow \left \{ {{P(P)=\frac{0,09-0,05 \times P(N)}{0,95}} \atop {\frac{0,05(0,09-0,05 \times P(N))}{0,95}+0,95 \times P(N)=0,91 }} \right.[/tex]
[tex]\displaystyle \left \{ {{P(P)=\frac{0,09-0,05 \times P(N)}{0,95} } \atop {\frac{0,0045-0,0025 P(N)+0,9025 P(N)}{0,95}}=0,91} \right.\\ \Leftrightarrow \left \{ {{P(P)=\frac{0,09-0,05 \times P(N)}{0,95}} \atop {\frac{0,0045+0,9 P(N)}{0,95}}=0,91} \right.[/tex]
De la deuxième équation du système, on a:
[tex]\displaystyle 0,0045+0,9 P(N)=0,95 \times 0,91\\P(N)=\frac{0,95 \times 0,91-0,0045}{0,9}=\frac{0,86}{0,9}[/tex]
On en déduit la probabilité qu'un individu soit testé positif:
[tex]\displaystyle P(P)+P(N)=1\\P(P)=1-P(N)\\P(P)=1-\frac{0,86}{0,9}=\frac{0,9-0,86}{0,9}=\frac{0,04}{0,9} \approx 0,044[/tex]
2) La probabilité que le sujet soit contaminé, sachant que le test est positif est [tex]P_{P}(C)=0,95[/tex].
3)a) Si tous les habitants d'âge supérieur ou égal à 20 ans, sont testés, alors le nombre de personnes positives serait de:
[tex]\displaystyle \frac{0,04}{0,9} \times 30 000 000 \approx 1 333 333,3[/tex]
soit approximativement 1 333 333 personnes.
b) Parmi ceux qui ont été testés positifs, 95% sont contaminés, donc:
[tex]\displaystyle 0,95 \times \frac{0,04}{0,9} \times 30 000 000 \approx 1 266 666,7[/tex] ,
soit approximativement 1 266 667, en arrondissant à l'unité supérieure.
c) On calcule d'abord le nombre total de personnes testées négatif:
[tex]\displaystyle \frac{0,86}{0,9} \times 30 000 000[/tex]
Parmi ceux qui ont été testés négatifs, 5% sont contaminés, donc :
[tex]\displaystyle 0,05 \times \frac{0,86}{0,9} \times 30 000 000 \approx 1 433 333,3[/tex] ,
soit approximativement 1 433 333 personnes.