Réponse :
1) à l'aide d'un théorème de géométrie, exprimer OD en fonction de x
OABC est un rectangle, donc (BC) ⊥ (OM) et (OD) ⊥ (OM) ⇒ (BC) // (OD)
donc d'après le th.Thalès on a; MC/MO = BC/OD ⇔ (x - 3)/x = 2/OD
⇔ OD * (x - 3) = 2 x ⇔ OD = 2 x/(x - 3)
2) en déduire que l'aire du triangle OMD peut-être modélisée par la fonction g définie sur l'intervalle ]3 ; + ∞[ par g(x) = x²/(x - 3)
l'aire du triangle OMD est A = 1/2)(OD * OM) = 1/2)( 2 x/(x - 3)* x) = x²/(x-3)
donc g(x) = x²/(x - 3)
3) étudier les variations de g sur ]3 ; + ∞[ et conclure
la dérivée de la fonction g est g '(x) = [2 x(x - 3) - x²]/(x - 3)²
g '(x) = (2 x² - 6 x - x²)/(x - 3)² = (x² - 6 x)/(x - 3)
or (x - 3)² > 0 donc g '(x) = 0 ⇔ x² - 6 x = 0 ⇔ x(x - 6) = 0 ⇔ x = 0 ∉]3 ; +∞[ donc il y a une seule solution x = 6 appartenant à l'intervalle ]3;+∞[
x 3 6 + ∞
g(x) + ∞ →→→→→→→→→→→ 12 →→→→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
répondre au problème posé : donc pour x = 6 m ; on obtient une surface minimale du triangle OMD de 12 m²
Explications étape par étape