Bonsoir,
Il faut garder à l'esprit qu'une récurrence ne se fait que sur une variable (à valeurs dans les entiers naturels).
Ici, on commence par fixer un [tex]x \in \mathbb{R}_+[/tex] quelconque, et on montre par récurrence sur [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] la propriété :
H(n) : "[tex]1+nx \le (1+x)^n[/tex]".
Initialisation : n=0
Le résultat est immédiat car H(0) revient à [tex]1+0 \le 1[/tex].
Hérédité : Soit [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] tel que H(n) soit vraie. Montrons H(n+1).
On a : [tex](1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^n \ge (1+x)(1+nx)[/tex] par hypothèse de récurrence, car [tex]1+x \ge 0[/tex] (x est positif).
Ainsi : [tex](1+x)^{n+1} \ge 1+x+nx+nx^2=1+(n+1)x+nx^2 \ge 1+(n+1)x[/tex] car [tex]nx^2 \ge 0[/tex], d'où H(n+1).
Par principe de récurrence, pour tout n, H(n) est vraie :
[tex]\forall n \in \mathbb{N}, 1+nx \le (1+x)^n[/tex].
x étant quelconque, on en déduit : [tex]\boxed{\forall x \in \mathbb{R}_+,\forall n \in \mathbb{N}, 1+nx \le (1+x)^n}[/tex].
Rq : On peut obtenir ce résultat plus facilement si on connaît le binôme de Newton :
[tex]\forall x \in \mathbb{R}_+, \forall n \in \mathbb{N},(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k=1+nx+\sum_{k=2}^n\binom{n}{k}x^k \ge 1+nx[/tex]
car la somme est positive puisque x l'est.
