Réponse :
Bonjour
Activité 2
1. Sachant que l'aire d'un cercle équivaut à pi * r * r. On cherchere exclusivement l'aire A de la couronne, on va donc retrancher de l'aire du couloir de marche, l'aire du bassin circulaire. Or l'aire du couloir de marche équivaut à pi * (r +x) * (r+x) et l'aire du bassin circulaire à pi*r*r ou pi*r². D'où A = pi*(r+x)² - pi*r²
2.
a) On développe d'abord (r+x)(r+x) selon la formule de l'identité remarquable suivante : (a+b)² = a² + 2ab + b²
d'où : (r+x)² = r² + 2xr + x²
Et alors on a : A = pi*r² + pi*2xr + pi*x² - pi*r²
A = pix² + pi2xr
b. On remplace x par 10, on trouve alors A = 3.14*10² + 3.14*2*10*r = 314 + 628r
or comme r est positif, l'aire est forcément supérieur à 314 m²
3. a) A = pi * [ (r+x)² - r²]
On identifie l'identité remarquable suivante : a² - b² = (a-b)(a+b)
On a alors :
A = pi * [((r+x)-r)(r+x+r))]
A = pi * [ x(x+2r)]
A = pi * (x²+2xr)
Remarque : on aurai pu factoriser à partir du développement, on obtiendrait le même résultat.
b) Sachant que l'aire du bassin est pi*r*r
si x = r on peu poser : A = pi (2x)² - pi*x² pour l'aire de la couronne, et pi*x² pour l'aire du bassin, on soustrait et on regarde si le résultat est positif ou non. S'il est positif l'aire de la couronne est supérieur, s'il est négatif alors c'est l'aire du bassin qui est plus grand.
c) Ici on doit vérifier en remplaçant x dans l'expression, et si on trouve le même résultat, càd si on trouve pir² alors l'assertion est vraie.
Bon courage.
