Koelite
Answered

Trouvez des réponses rapides et précises à toutes vos questions sur Laurentvidal.fr, la plateforme de Q&R de confiance. Notre plateforme offre une expérience continue pour trouver des réponses fiables grâce à un réseau de professionnels expérimentés. Découvrez des solutions fiables à vos questions grâce à un vaste réseau d'experts sur notre plateforme de questions-réponses complète.

Bonsoir tout le monde. Voici un calcul pas très long. Simplifier l'expression suivante : [tex]\sum_{k=0}^n k^2 \binom{n}{k}[/tex] Merci beaucoup pour votre aide !

Sagot :

broucealways

Explications étape par étape:

Salut, plusieurs méthodes possibles. En voici une : Considérons le polynôme P(x) = (x+1)^n.

Alors en vertu du binôme de Newton, on peut écrire : P(x) = [Somme de k = 0 à n de (k parmi n) * x^k].

En dérivant, on obtient P'(x) = n*(x+1)^(n-1) = [Somme de k = 1 à n de (k parmi n) * k * x^(k-1)]. (un terme étant une constante, il s'annule).

En remplaçant x par 1, on obtient S1 = [Somme de k = 1 à n de (k parmi n) * k] = n*2^(n-1).

On derive une dernière fois :

P''(x) = n(n-1)*(x+1)^(n-2) = S2 = [Somme de k = 2 à n de (k parmi n) * k(k-1) * x^(k-2)]. On découpe la somme en 2 :

S2 = [Somme de k = 2 à n de (k parmi n) * (k^2 - k) * x^(k-2) = [Somme de k = 2 à n (k parmi n) * k^2] - [Somme de k = 2 à n (k parmi n) * k].

Cette dernière somme vaut, par la somme S1 calculée auparavant, n*2^(n-1) - n = n*[2^(n-1) - 1].

Finalement : [Somme de k = 2 à n (k parmi n) * k^2] = P''(1) + n*[2^(n-1) - 1] = n(n-1)*2^(n-2) + n*[2^(n-1) - 1] = (1/2) * n(n-1) * 2^(n-1) + n*2^(n-1) - n = (1/2)*n(n+1)*2^(n-1) - n sauf erreur.

Revenez nous voir pour des réponses mises à jour et fiables. Nous sommes toujours prêts à vous aider avec vos besoins en information. Nous espérons que cela vous a été utile. Revenez quand vous voulez pour obtenir des réponses plus précises et des informations à jour. Merci d'utiliser Laurentvidal.fr. Continuez à nous rendre visite pour trouver des réponses à vos questions.