Bonjour,
C'est probablement ainsi que vous avez défini la dérivée en un point.
Une fonction f est dérivable en un point [tex]x_0[/tex] si la limite [tex]\underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/tex] existe et est finie.
On note alors [tex]f'(x_0)=\underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/tex].
Dans notre cas, [tex]x_0=1[/tex], donc, comme f est supposée dérivable en 1, la limite [tex]\underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(1+h)}{h}[/tex] existe et est finie; et on a :
[tex]\boxed{f'(1)=\underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(1+h)}{h}}[/tex].
Rq : Une autre définition possible de la dérivée en un point [tex]x_0[/tex] est :
Une fonction f est dérivable en [tex]x_0[/tex] si la limite [tex]\underset{x \to x_0}{\lim} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/tex] existe et est finie et alors, on pose [tex]f'(x_0)=\underset{x \to x_0}{\lim} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/tex].
Mais cette définition est équivalente. Dans notre cas : [tex]x_0=1[/tex] et la limite vaut :
[tex]\underset{x \to 1}{\lim} \frac{f(x)}{x-1}[/tex] ce qui revient, en posant [tex]h=x+1[/tex] à [tex]\underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(1+h)}{h}[/tex], donc à la limite précédente.
