Bonjour,
Il suffit de revenir à la définition : [tex]a \equiv b \pmod n \iff \exists k \in \mathbb{Z},a=b+k \cdot n[/tex].
- Supposons [tex]a \equiv b \pmod n[/tex] et [tex]c \equiv d \pmod n[/tex] et montrons : [tex]a+c \equiv b+d \pmod n[/tex].
On a par hypothèse : [tex]\exists k,k', a=b+k \cdot n \text{ et } c=d+k' \cdot n[/tex].
Ainsi, par somme :
[tex]a+c=(b+d)+\underset{\in \mathbb{Z}}{\underbrace{(k+k')}}\cdot n[/tex]
d'où : [tex]a+c \equiv b+d \pmod n[/tex].
- Supposons maintenant [tex]a \equiv b \pmod n[/tex] et [tex]c \equiv d \pmod n[/tex] et montrons [tex]ac \equiv bd \pmod n[/tex].
On a par hypothèse : [tex]\exists k,k', a=b+k \cdot n \text{ et } c=d+k' \cdot n[/tex].
Par produit : [tex]ac=(b+k \cdot n)(d+k' \cdot n)=bd+(bk'+dk+kk') \cdot n[/tex].
Or, tous les termes considérés sont entiers, donc [tex]bk'+dk+kk' \in \mathbb{Z}[/tex].
Ainsi : [tex]\boxed{ac \equiv bd \pmod n}[/tex].
Rq : Attention ! Si les termes considérés ne sont pas entiers mais réels, le résultat sur la mutiplication ne subsiste plus. On aura :
[tex]\forall \lambda \in \mathbb{R^*}, a \equiv b \pmod n \Rightarrow \lambda a \equiv \lambda b \pmod {\lambda n}[/tex].
