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Bonjour,

Pour la question 2, je n'arrive pas du tout a montré que la fonction est surjective pour ainsi montrer quelle est bijective.

Et pour la question 3, il fraudait la réciproque de la fonction, on m'a dit que je la trouverais en montrant que la fonction et surjective, or je bloque la dessus.

Merci beaucoup de m'aider :-).

Bonjour Pour La Question 2 Je Narrive Pas Du Tout A Montré Que La Fonction Est Surjective Pour Ainsi Montrer Quelle Est Bijective Et Pour La Question 3 Il Fraud class=

Sagot :

francoismareau

Bonjour,

2) On peut montrer l'injectivité en même temps que la surjectivité.

La surjectivité se montre en prenant deux éléments  [tex](a,b) \in \mathbb{R}^2[/tex] et en montrant qu'ils admettent (au moins !) un antécédent par f.

On aura l'injectivité si on prouve que cet antécédent est unique.

On cherche donc [tex](x,y) \in \mathbb{R}^2[/tex] tels que :

[tex]f((x,y))=(a,b) \iff \left \{ {{2x+3y=a} \atop {x+my=b}} \right. \iff \left \{ {{2x+3y=a} \atop {(m-\frac{3}{2})y=b-\frac{a}{2}} \right.[/tex]

Si [tex]m=\frac{3}{2}[/tex] il n'y a pas de solution si [tex]b-\frac{a}{2} \not =0[/tex] et une infinité sinon puisque y est alors quelconque.

Mais si [tex]m \not =\frac{3}{2}[/tex] alors le système possède une unique solution (système de Cramer).

Ainsi, f est bijective ssi [tex]\boxed{m\not =\frac{3}{2}}[/tex].

3) Sa réciproque est alors obtenue en résolvant le système : [tex]f^{-1} : (a,b) \mapsto (\frac{1}{2}(a-3\frac{2b-a}{2m-3}),\frac{2b-a}{2m-3})[/tex].

On peut vérifier [tex]f \circ f^{-1}=id[/tex] et [tex]f^{-1} \circ f=id[/tex].

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