Bonjour
Résoudre dans R l'inéquation (x+10)/(-x²+3x+4) ≤ 6 et dresser le tableau de signes.
Tout d’abord on va déterminer les valeurs interdites :
Le dénominateur doit être différent de 0
-x^2 + 3x + 4 [tex]\ne[/tex] 0
Si tu connais le discriminant :
[tex]\Delta = 3^{2} - 4 * (-1) * 4 = 9 + 16 = 25[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta} = 5[/tex]
x1 = (-3 - 5)/(2 * -1) = (-8)/(-2) = 4
X2 = (-3 + 5)/(-2) = -2/2 = (-1)
Ensuite on met sur le même dénominateur :
(x + 10)/(-x^2 + 3x + 4) - 6(-x^2 + 3x + 4)/(-x^2 + 3x + 4) ≤ 0
(x + 10 + 6x^2 - 18x - 24)/(-x^2 + 3x + 4) ≤ 0
(6x^2 - 18x + x + 10 - 24)/(-x^2 + 3x + 4) ≤ 0
(6x^2 - 17x - 14)/(-x^2 + 3x + 4) ≤ 0
Comme ci dessus :
Discriminant :
[tex]\Delta = (-17)^{2} - 4 * 6 * (-14) = 289 + 336 = 625[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta} = 25[/tex]
X1 = (17 - 25)/(2 * 6) = (-8/12) = (-2/3)
X2 = (17 + 25)/12 = 42/12 = 7/2
Tableau de signes :
x..............|-inf...(-1).....(-2/3)........7/2.....4........+inf
x + 2/3...|.....(-).......(-)....o.....(+)........(+)......(+)........
x - 7/2....|.....(-).......(-)............(-)....o...(+).....(+)........
(x - 4)......|.....(-).......(-)...........(-).........(-)..o....(+).....
(x + 1)......|.....(-)..o...(+)..........(+)........(+).....(+).......
Ineq........|.....(+).||...(-).....o.....(+)....o.(-)...||....(+).....
[tex]x \in ]-1 ; -2/3] U [7/2 ; 4[[/tex]
