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Équation avec des valeurs absolues.

Bonjour,

Résoudre I 2x+1 I = I x-2 I

#ApprendsAvecNosdevoirs

Sagot :

jpmorin3

bjr

Résoudre I 2x+1 I = I x-2 I            D = R

                         |a| = |b| signifie : a = b  ou  a = - b

l'équation  I 2x+1 I = I x-2 I est équivalente à

2x + 1 = x -2         ou          2x + 1 = -x + 2

2x - x = -2 - 1         ou         2x + x = 2 - 1

      x = -3              ou             3x = 1

                              ou              x = 1/3  

elle admet deux solutions : -3 et 1/3

S = {-3 ; 1/3}  

Réponse :

résoudre | 2 x + 1 | = | x - 2 |

 résoudre | 2 x + 1 | - | x - 2 | = 0

première étape :  exprimer l'expression résoudre | 2 x + 1 | - | x - 2 | = 0  sans valeurs absolue pour cela on étudie le signe de 2 x + 1 et de x - 2 sur un même tableau

       x                      - ∞                        - 1/2                    2                    + ∞

   2 x + 1                                   -              0           +                    +

    x - 2                                     -                            -         0          +

  | 2 x + 1 |                              - 2 x - 1               2 x + 1              2 x + 1  

  | x - 2 |                                 - x + 2                 - x + 2               x - 2

- | x - 2 |                                   x - 2                    x - 2             - x + 2  

|2 x + 1 | - | x - 2 |                    - x - 3                  3 x - 1              x + 3

donc l'expression  | 2 x + 1 | -| x - 2 |   peut  s'écrire

                                 { - x - 3     si  x ∈ ]- ∞ ; - 1/2]

| 2 x + 1 | -| x - 2 |  =   { 3 x - 1    si  x ∈ [- 1/2 ; 2]

                                 { x + 3        si  x ∈ [2 ; + ∞[

seconde étape ; on résout les trois équations suivantes sur les intervalles correspondants:

* - x - 3 = 0  sur ]- ∞ ; - 1/2] ⇔ x = - 3    convient

* 3 x - 1 = 0 sur [- 1/2 ; 2]  ⇔ x = 1/3    convient

* x + 3 = 0    sur [2 ; + ∞[  ⇔  x = - 3    ne convient pas

Conclusion   S = {- 3 ; 1/3}

Explications étape par étape

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