Bonjour,
1) Il s'agit de développer l'expression de droite :
[tex](x+1)(y+1)=xy+x+y+1[/tex]
et de même : [tex](x-1)(1-y)=x-xy-1+y[/tex].
2) On remarque d'abord que la fraction a un sens car [tex]xy \not =-1[/tex] puisque [tex]|x|<1[/tex] et [tex]|y|<1[/tex].
On élève ensuite au carré pour faire disparaître la valeur absolue.
On veut donc montrer : [tex]\frac{(x+y)^2}{(1+xy)^2} <1[/tex].
On s'inspire de la question précédente :
[tex](x+y)^2-(1+xy)^2=x^2+2xy+y^2-1-x^2y^2-2xy=(x^2-1)(1-y^2)[/tex].
(Il s'agit en fait de la deuxième égalité de 1) appliquée à [tex]x^2[/tex] et [tex]y^2[/tex].)
Ainsi :
[tex]\frac{(x+y)^2}{(1+xy)^2}=\frac{(x^2-1)(1-y^2)+(1+xy)^2}{(1+xy)^2}=\frac{(x^2-1)(1-y^2)}{(1+xy)^2}+1[/tex].
Déterminons le signe de la fraction :
- [tex]x^2<1[/tex] par hypothèse, donc [tex]x^2-1<0[/tex]
- [tex]y^2<1[/tex] donc [tex]1-y^2>0[/tex]
- et [tex](1+xy)^2 >0[/tex] comme carré.
Ainsi : [tex]\frac{(x^2-1)(1-y^2)}{(1+xy)^2} <0[/tex] d'où : [tex]\frac{(x^2-1)(1-y^2)}{(1+xy)^2} +1 =\frac{(x+y)^2}{(1+xy)^2}<1[/tex].
La fonction racine carrée étant croissante (et les termes positifs) : [tex]\boxed{\left|\frac{x+y}{1+xy} \right|<1}[/tex].
Rq : Si l'on n'avait pas pensé à élever au carré, il aurait fallu faire deux fois un raisonnement analogue. On aurait alors utilisé les deux égalités du 1) telles quelles.
