Bonsoir,
1) Il y a 18! possibilités.
En effet, pour le premier cheval arrivé, on a 18 choix.
Pour le 2e, on en a 17 (tous les chevaux sont possibles, sauf le premier).
Pour le 3e, on en a 16.
Etc.
Pour le 18e, une seule.
D'où [tex]18 \times 17 \times 16 \times \cdots \times 2 \times 1=18![/tex] possibilités.
2)a) Il y a 15! courses possibles correspondant à la bonne combinaison : on fixe les trois premiers chevaux, les autres étant quelconques.
Comme il y a 18! courses au total (question précédente) :
La probabilité d'obtenir la bonne combinaison est [tex]\boxed{\frac{15!}{18!}=\frac{1}{18 \times 17 \times 16}}[/tex].
b) Le parieur obtient les bons chevaux dans [tex](3!-1)\times 15![/tex] cas.
En effet, il y a 3! façons d'arranger les trois premiers chevaux, et on enlève celle qui correspond au bon ordre.
Les 15 chevaux restants sont quelconques d'où le 15!.
Ainsi, la probabilité qu'il obtienne les bons chevaux dans le mauvais ordre est [tex]\frac{(3!-1)\times 15!}{18!}=\boxed{\frac{5}{18 \times 17 \times 16}}[/tex].
c) On commence par dénombrer le nombre de courses pour lesquelles on a deux chevaux corrects sur les trois :
-On choisit les deux chevaux parmi les trois premiers pour lesquels le parieur a juste : 3 possibilités.
-On choisit leurs positions dans le pari (1er, 2e ou 3e) : encore 3 possibilités, qu'on multiplie par 2 puisque l'ordre importe peu.
-Pour le dernier l'emplacement restant, on peut choisir n'importe lequel des 16 chevaux restants, sauf celui qui complète le podium : 15 possibilités.
-Les 15 derniers chevaux sont quelconques : 15! possibilités.
Ainsi, la probabilité d'obtenir exactement deux chevaux corrects est
[tex]\frac{3 \times 3 \times 2 \times 15 \times 15!}{18!}=\boxed{\frac{15}{272}}[/tex].
N'hésite pas à demander des précisions.
Bonne soirée.
