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Sagot :
Réponse :
Explications étape par étape
Bonsoir
1) développer :
2(x - 1/2)(x + 3)(x - 2)
= (2x - 1)(x^2 - 2x + 3x - 6)
= (2x - 1)(x^2 + x - 6)
= 2x^3 + 2x^2 - 12x - x^2 - x + 6
= 2x^3 + x^2 - 13x + 6
2) p(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6
a) calculer p(-2) :
P(-2) = 2 * (-2)^3 - 3 * (-2)^2 - 11 * (-2) + 6
P(-2) = 2 * (-8) - 3 * 4 + 22 + 6
P(-2) = -16 - 12 + 28
P(-2) = -28 + 28
P(-2) = 0
Donc (-2) est racine du polynôme
b) déterminer à, b et c pour p(x) = (x + 2)(ax^2 + bx + c)
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 2ax^2 + 2bx + 2c
P(x) = ax^3 + (2a + b)x^2 + (2b + c)x + 2c
a = 2
2a + b = -3 => b = -3 - 2 * 2 = -3 - 4 = -7
2b + c = -11 => c = -11 + 2 * 7 = 3
2c = 6 => c = 6/2 = 3
P(x) = (x + 2)(2x^2 - 7x + 3)
c) résoudre p(x) = 0
x + 2 = 0 ou 2x^2 - 7x + 3 = 0
[tex]\Delta = (-7)^{2} - 4 * 2 * 3 = 49 - 24 = 25[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta} = \sqrt{25} = 5[/tex]
X1 = (7 - 5)/(2 * 2) = 2/4 = 1/2
X2 = (7 + 5)/4 = 12/4 = 3
x + 2 = 0 ou (x - 3)(x - 1/2) = 0
x = -2 ou x = 3 ou x = 1/2
Factoriser p(x) :
P(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 1/2)
Résoudre p(x) << 0 (avec << inférieur ou égal)
x .........|-inf.......(-2).......1/2........3..........+inf
x+2.....|.......(-)......o...(+).......(+).......(+).........
x - 3....|.......(-)............(-).......(-)....o....(+)......
x - 1/2.|.......(-)............(-)...o...(+)........(+).......
Ineq....|.......(-).....o.....(+).o....(-)..o.....(+).......
[tex]x \in ]-inf ; -2] U [1/2 ; 3][/tex]
3) q(x) = x^4 + 2x^3 - 16x^2 - 2x + 15
Calculer q(1) :
Q(1) = 1^4 + 2 * 1^3 - 16 * 1^2 - 2 * 1 + 15
Q(1) = 1 + 2 - 16 - 2 + 15
Q(1) = 18 - 18
Q(1) = 0
Donc 1 est une racine
Résoudre q(x) = 0 :
Q(x) = (x - 1)(ax^3 + bx^2 + cx + d)
Q(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx - ax^3 - bx^2 - cx - d
Q(x) = ax^4 + (b - a)x^3 + (c - b)x^2 + (d - c)x - d
q(x) = x^4 + 2x^3 - 16x^2 - 2x + 15
a = 1
b - a = 2 => b = 1 + 2 = 3
c - b = -16 => c = -16 + 3 = -13
d - c = -2 => d = -2 - 13 = -15
-d = 15 => d = 15
Q(x) = (x - 1)(x^3 + 3x^2 - 13x + 15)
Réponse :
1) développer 2(x - 1/2)(x + 3)(x - 2) = 2(x - 1/2)(x² + x - 6)
(2 x - 1)(x² + x - 6) = 2 x³ + 2 x² - 12 x - x² - x + 6
= 2 x³ + x² - 13 x + 6
2) soit P(x) = 2 x³ - 3 x² - 11 x + 6
a) calculer P(- 2) = 2*(-2)³ - 3*(-2)² - 11*(-2) + 6 = - 16 - 12 + 22 + 6
= - 28+28 = 0
b) déterminer a, b et c pour P(x) = (x + 2)(a x² + b x + c)
P(x) = (x + 2)(a x² + b x + c)
= a x³ + b x² + c x + 2a x² + 2b x + 2 c
= a x³ + (b + 2 a) x² + (c + 2 b) x + 2 c
a = 2
b + 2 a = - 3
c + 2 b = - 11 ⇔ 3 + 2 b = - 11 ⇔ 2 b = - 14 ⇔ b = - 14/2 = - 7
2 c = 6 ⇔ c = 6/2 = 3
donc P(x) = (x + 2)(2 x² - 7 x + 3)
c) résoudre dans R, P(x) = 0
P(x) = 0 ⇔(x + 2)(2 x² - 7 x + 3) = 0 produit de facteurs nul
⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = - 2 ou 2 x² - 7 x + 3 = 0
Δ = 49 - 24 = 25 ⇒ √25 = 5 on a deux solutions distinctes
x1 = 7+5)/4 = 12/4 = 3
x2 = 7 - 5)/4 = 1/2
S = {- 2 ; 1/2 ; 3}
Factoriser P(x)
P(x) = (x + 2)(2 x² - 7 x + 3)
2 x² - 7 x + 3 = 2(x - 3)(x - 1/2)
P(x) = 2(x+2)(x - 3)(x - 1/2) = (x + 2)(x- 3)(2 x - 1)
Résoudre P(x) ≤ 0 ⇔ (x+2)(x - 3)(2 x - 1) ≤ 0
x - ∞ - 2 1/2 3 + ∞
x+2 - 0 + + +
x-3 - - - 0 +
2 x- 1 - - 0 + +
P(x) - 0 + 0 - 0 +
l'ensemble des solutions de l'inéquation P(x) ≤ 0 est S = ]- ∞ ; - 2]U[1/2; 3]
Explications étape par étape
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