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Sagot :

PAU64

Bonsoir ! ;)

Réponse :

Exercice 1 :

a) (2x - 4) (x + 1) - (4x - 8) (2x + 3) = 0

(2x - 4) (x + 1) - 2 (2x - 4) (2x + 3) = 0

⇒ (2x - 4) [ (x + 1) - 2 (2x + 3) ] = 0

⇒ (2x - 4) [ (x + 1) - 2 * 2x - 2 * 3 ] = 0

⇒ (2x - 4) [ x + 1 - 4x - 6 ] = 0

(2x - 4) (- 3x - 5) = 0       ( ← ceci est la factorisation ! )

Or, un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul, c'est-à-dire si :

2x - 4 = 0               ou            - 3x - 5 = 0

⇒ 2x = 4                ou            - 3x = 5

⇒ x = 4 / 2             ou            x = [tex]-\frac{5}{3}[/tex]

x = 2                  ou            x = [tex]-\frac{5}{3}[/tex]

Donc, S = { [tex]-\frac{5}{3}[/tex] ; 2 }.

b) (7x - 4)² - 2 (4 - 7x) (3x + 2) = 0

(7x - 4) (7x - 4) + 2 (7x - 4) (3x + 2) = 0

⇒ (7x - 4) [ (7x - 4) + 2 (3x + 2) ] = 0

⇒ (7x - 4) [ (7x - 4) + 2 * 3x + 2 * 2 ] = 0

⇒ (7x - 4) [ 7x - 4 + 6x + 4 ] = 0

(7x - 4) * 13x = 0      ( ← ceci est la factorisation ! )

Or, un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul, c'est-à-dire si :

7x - 4 = 0               ou            13x = 0

⇒ 7x = 4                ou            x = 0 / 13

x = [tex]\frac{4}{7}[/tex]                  ou             x = 0

Donc, S = { 0 ; [tex]\frac{4}{7}[/tex] }.

c) 4 (x + 3)² - 9 (x - 1)² = 0

⇔ 2² (x + 3)² - 3² (x - 1)² = 0

( rappel : a² - b² peut se factoriser sous la forme : (a - b) (a + b) ! )

⇒ [ 2 (x + 3) - 3 (x - 1) ] [ 2 (x + 3) + 3 (x - 1) ] = 0

⇒ [ 2 * x + 2 * 3 - 3 * x - 3 * (- 1) ] [ 2 * x + 2 * 3 + 3 * x + 3 * (- 1) ] = 0

⇒ [ 2x + 6 - 3x + 3 ] [ 2x + 6 + 3x - 3 ] = 0

(- x + 9) (5x + 3) = 0       ( ← ceci est la factorisation ! )

Or, un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul, c'est-à-dire si :

- x + 9 = 0               ou           5x + 3 = 0

⇒ - x = - 9               ou           5x = - 3

x = 9                   ou           x = [tex]-\frac{3}{5}[/tex]

Donc, S = { [tex]-\frac{3}{5}[/tex] ; 9 }.

d) 4x² = 3

⇔ 4x² - 3 = 0

⇔ (2x)² - ( [tex]\sqrt{3}[/tex] )² = 0

( rappel : a² - b² peut se factoriser sous la forme : (a - b) (a + b) ! )

( 2x - [tex]\sqrt{3}[/tex] ) ( 2x + [tex]\sqrt{3}[/tex] ) = 0       ( ← ceci est la factorisation ! )

Or, un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul, c'est-à-dire si :

2x - [tex]\sqrt{3}[/tex] = 0               ou           2x + [tex]\sqrt{3}[/tex] = 0

⇒ 2x = [tex]\sqrt{3}[/tex]                ou           2x = [tex]-\sqrt{3}[/tex]

x = [tex]\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]                   ou           x = [tex]-\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]

Donc, S = { [tex]-\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]  ; [tex]\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex] }.

Exercice 2 :

a) 3x + 5 ≤ 4x - 3

⇒ 3x - 4x ≤ - 3 - 5

⇒ - x ≤ - 8

( comme " - x " est négatif, le sens de l'inégalité va changer ! )

x ≥ 8

Donc, S = [ 8 : + ∞ [.

b) - 3x + 1 < - 2x + 3

⇒ - 3x + 2x < 3 - 1

⇒ - x < 2

( comme " - x " est négatif, le sens de l'inégalité va changer ! )

x > - 2

Donc, S = ] - 2 ; + ∞ [.

c) [tex]\frac{-x+3}{2}[/tex] ≥ [tex]\frac{3x-1}{4}[/tex]

⇔ (- x + 3) * 4 ≥ 2 * (3x - 1)

⇒ - x * 4 + 3 * 4 ≥ 2 * 3x + 2 * (- 1)

⇒ - 4x + 12 ≥ 6x - 2

⇒ - 4x - 6x ≥ - 2 - 12

⇒ - 10x ≥ - 14

( comme " - 10x " est négatif, le sens de l'inégalité va changer ! )

⇒ x ≤ - 14 / (- 10)

x ≤ [tex]\frac{7}{5}[/tex]

Donc, S = ] - ∞ ; [tex]\frac{7}{5}[/tex] ].

d) - 3 (x + 1) + 2 (x - 1) ≤ 4 - x

⇒ - 3 * x - 3 * 1 + 2 * x + 2 * (- 1) ≤ 4 - x

⇒ - 3x - 3 + 2x - 2 ≤ 4 - x

⇒ - x - 5 ≤ 4 - x

⇒ - x + x ≤ 4 + 5

0 ≤ 9

Cette affirmation est vraie quelque soit x ∈ R.

Exercice 3 :

a) 2 (4x - 3) + 4 (1 - 2x) = 2 (3x + 7) - 4 (2x + 5)

⇒ 2 * 4x + 2 * (- 3) + 4 * 1 + 4 * (- 2x) = 2 * 3x + 2 * 7 - 4 * 2x - 4 * 5

⇒ 8x - 6 + 4 - 8x = 6x + 14 - 8x - 20

⇒ - 2 = - 2x - 6

⇒ - 2 + 6 = - 2x

⇒ 4 = - 2x

⇒ 4 / (- 2) = x

x = - 2

Donc, S = { - 2 }.

b) 6 (3x - 1) - 5 (4 - x) = 3 (5x + 6) + 8 (x - 1)

⇒ 6 * 3x + 6 * (- 1) - 5 * 4 - 5 * (- x) = 3 * 5x + 3 * 6 + 8 * x + 8 * (- 1)

⇒ 18x - 6 - 20 + 5x = 15x + 18 + 8x - 8

⇒ 23x - 26 = 23x + 10

⇒ 23x - 23x = 10 + 26

0 = 36

Impossible ! Cette équation n'admet aucune solution. Ceci signifie donc que S = ∅.

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Réponse :

Pour le 1e)

Explications étape par étape

[tex](4x-1)^2-9(2x+1)^2=0[/tex]

C'est une différence de 2 carrés, on utilise [tex]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex]

[tex][4x-1+3(2x+1)}[4x-1-3(2x+1)}=0\\\iff (4x-1+6x+3)(4x-1-6x-3)=0\\\iff (10x+2)(-2x-4)=0\\\iff -4(5x+1)(x+2)=0[/tex]

Donc

[tex]5x+1=0\ ou \ x+2=0 \iff x=-\dfrac{1}{5} \ ou \ x=-2\\S=\left\{-2;-\dfrac{1}{5}\right\}[/tex]

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