Bonjour,
On pose :
x = 1 + √(3)
y = 1 - 2√(3)
x + y = [ 1 + √(3) ] + [ 1 - 2√(3) ]
On peut regrouper les entiers et les racines.
x + y = 1 + 1 + √(3) - 2√(3)
x + y = 2 - 1√(3)
x - y = [ 1 + √(3) ] - [ 1 - 2√(3) ]
Il y a un moins devant le crochet, on va donc changer tous les signes dans le crochet et changer ce moins en plus.
x - y = [ 1 + √(3) ] + [-1 + 2√(3) ]
On peut regrouper les entiers et les racines.
x - y = 1 - 1 +√(3) + 2√(3)
x - y = 0 + 3√(3)
x - y = 3√(3)
x² = [1 + √(3)] ²
Identité remarquable : (a + b)² = a² + 2ab + b²
x² = 1² + 2*1*√(3) + √(3)²
Lorsqu'on met une racine au carré, le carré et la racine se simplifient. 1 au carré reste 1.
x² = 1 + 2√(3) + 3
x² = 4 + 2√(3)
y² = [1 - 2√(3)] ²
Identité remarquable : (a-b)² = a² -2ab + b²
y² = 1² - 2*1*2√(3) + [2√(3)]²
Lorsqu'on met une racine au carré, le carré et la racine se simplifient. 1 au carré reste 1.
y² = 1 - 4√(3) + 2²*√(3)²
y² = 1 - 4√(3) + 4*3
y² = 1 - 4√(3) + 12
y² = 13 - 4√(3)
Avec ce que nous avons trouvé précédemment (question 2)
x² - y² = [4 + 2√(3)] - [ 13 - 4√(3) ]
Il y a un moins devant le crochet, on va donc changer tous les signes dans le crochet et changer ce moins en plus.
x² - y² = [4 + 2√(3)] + [ -13 + 4√(3) ]
On peut regrouper les entiers et les racines.
x² - y² = 4 - 13 + 2√(3) + 4√(3)
x² - y² = -9 + 6√(3)
Avec l'identité remarquable : (a+b)(a-b) = a² - b²
x² - y² = [ x + y ] [ x - y ]
x² - y² = [ (1+√(3)) + (1-2√(3)) ] * [ (1+√(3)) - (1-2√(3)) ]
On va reprendre nos réponses à la question 1 :
x² - y² = [2 - 1√(3)] * 3√(3)
On développe et on simplifie.
x² - y² = 2*3√(3) - 1√(3)*3√(3)
x² - y² = 6√(3) - 3*√(3)²
Lorsqu'on met une racine au carré, le carré et la racine se simplifient.
x² - y² = 6√(3) - 3 * 3
x² - y² = 6√(3) - 9
x² - y² = -9 + 6√(3)
On pose
A = x² - 2x - 7
A = [√(2)]² - 2*√(2) - 7
Lorsqu'on met une racine au carré, le carré et la racine se simplifient.
A = 2 - 2√(2) - 7
A = - 5 - 2√(2)
A = [ 5 - √(2)]² -2 * [ 5 - √(2) ] -7
Identité remarquable : (a - b)² = a² - 2ab + b² et on développe le second crochet. On simplifie le tout.
A = 5² - 2*5*√(2) + [√(2)]² -2*5 -2*[-√(2)] -7
Pour le second "bloc" : -a*-b = + a*b (un signe - fois un signe - donne un signe +).
A = 25 -10√(2) + 2 -10 + 2√(2) -7
Je regroupe les entiers et les racines pour que ce soit plus simple pour simplifier.
A = 25 + 2 - 10 - 7 - 10√(2) + 2√(2)
A = 10 - 8√(2)
A = [ 2√(2) + 1] ² -2 * [ 2√(2) + 1] - 7
Identité remarquable : (a + b)² = a² + 2ab + b² et on développe le second crochet. On simplifie le tout.
A = [2√(2)]² + 2*1*2√(2) + 1² -2*2√(2) -2*1 -7
A = 4*2 + 2√(2) + 1 -4√(2) - 2 -7
A = 8 + 2√(2) + 1 -4√(2) - 2 -7
Je regroupe les entiers et les racines pour que ce soit plus simple pour simplifier.
A = 8 + 1 - 2 - 7 + 2√(2) - 4√(2)
A = 0 -2√(2)
A = -2√(2)
En espérant que cela t'aide, n'hésite pas si tu as des questions ! La notation peut être assez lourde sur ordinateur... Je te conseille de mettre des couleurs sur ta feuille pour mieux te repérer.
Bon courage et bonne journée !
Fiona (: