Réponse :
Explications étape par étape
■ Uo = 1 ; U1 = √1,5 ; U2 = √1,75 ; U3 = √1,875 ; U4 = √1,9375 ; ...
U1 ≈ 1,225 ; U2 ≈ 1,323 ; U3 ≈ 1,369 ; U4 ≈ 1,392 ; ...
■ 1°) Un+1 = √(0,5Un² + 1)
recherche de la limite U :
U = √(0,5U² + 1)
U² = 0,5U² + 1
0,5U² = 1
U² = 2
U = √2
conclusion : 1 ≤ Un ≤ √2
( remarque : le texte dit 1 ≤ Un ≤ 2
donc il y a une erreur dans le texte ! )
■ 2a) Un+1 - Un = √(0,5Un² + 1) - Un
multiplions par l' expression conjuguée :
Un+1 - Un = [ 0,5Un² + 1 - Un² ] / [ √(0,5Un² + 1) + Un ]
= [ 1 - 0,5Un² ] / [ √(0,5Un² + 1) + Un ]
multiplions par 2 :
Un+1 - Un = [ 2 - Un² ] / 2[ √(0,5Un² + 1) + Un ]
= positif / positif
= positif
donc Un+1 = Un + positif
d' où la suite (Un) est croissante !
■ 3°) Vo = -1 ; V1 = -0,5 ; V2 = -0,25 ; V3 = -0,125 ; ...
■ 3a) Vn+1 = (Un+1)² - 2 = 0,5Un² + 1 - 2
= 0,5Un² - 1
= 0,5(Un² - 2)
= 0,5 Vn
donc la suite (Vn) est bien une suite géométrique
de terme initial Vo = -1 et de raison q = 0,5
( cette suite est croissante et admet pour limite zéro )
■ 3b) Vn = -1 x (0,5)puissance(n)
Un² = Vn + 2 = 2 - (0,5)puissance(n)
Un = √[2 - (0,5)puissance(n)]
Limites pour n tendant vers l' infini :
LimVn = 0 ; LimUn = √2
■ 4a) Sn = Som des Un² = Som des (Vn + 2)
= (Som des Vn) + 2n
= [-1 (1 - 0,5puiss(n+1)) / 0,5] + 2n
= [-2(1 - 0,5puiss(n+1))] + 2n
= [-2 + 0,5puiss(n)] + 2n
Limite à l' infini :
Lim (Sn / n) = Lim [-2]/n + 2 = 2
