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Bonjour, pourriez vous m'aidé pour ces deux exercices s'il vous plait ?

a) Déterminez les valeurs du paramètre a pour lesquelles l'équation (a-6)x^2-2(a-2)x+2a-10=0 possède deux solutions négatives.

b) Résolvez le problème suivant : Un fleuriste achète des plantes pour 250€. Il les vend avec un bénéfice de 10€ par plante, mais 6 plantes meurent et ne sont donc pas vendues. Le bénéfice total étant de 65€, quel est le nombre de plantes achetées ?

Je vous remercie,
Bonne journée.


Sagot :

Réponses :

a) il faut 4 < a < 5 ;

b) 20 plantes achetées !

Explications étape par étape :

■ (a-6)x² - 2(a-2)x + 2(a-5) = 0

   Δ = 4(a-2)² - 4(a-6) * 2(a-5)

       = 4(a²-4a+4) -8(a²-11a+30)

       = -4a² + 72a - 224

       = -4 (a² - 18a + 56)

       = -4 (a²-18a+81 - 25)

       = -4 [ (a-9)² - 5² ]

       = -4 (a-9-5) (a-9+5)

       = -4 (a-14) (a-4)

    Δ > 0 donne 4 < a < 14

■ solutions :

  x1 =  { 2(a-2) - 2√[(a-14)(4-a)] } / 2(a-6)

      =  { a-2 - √[(a-14)(4-a)] } / (a-6)

  on veut x1 négative :

  4 < a < 6 donne  a-2 - √[(a-14)(4-a)] > 0  

                              a-2 > √[(a-14)(4-a)]

                          (a-2)² > (a-14)(4-a)

                  a² - 4a + 4 > -a² + 18a - 56

          2a² - 22a + 60 > 0

              a² - 11a + 30 > 0

              a ∉ [ 5 ; 6 ]

   conclusion : il faut 4 < a < 5

■ tableau :

a -->   4         4,5        5           6       8     10       12        14

Δ -->  0          19                  8²    96    96      64        0

sol -> -1           -      0 et -6     1/4     +       +         +        1,5

■ vérif :

    a = 4,5 --> -1,5x² - 5x - 1 = 0

                --> Δ = 5² - 6 = 19 ≈ 4,36²

    --> solutions ≈ -3,12 ou -0,214 négatives !

■ b) soit N plantes achetées pour 250 € :

        --> le prix d' achat est donc (250/N) €uros/plante

       on vend (N-6) plantes à [ (250/N)+10 ] € par plante

       le Bénéf est donc (N-6) [ (250/N)+10 ] - 250 = 65

                            250 + 10N - 1500/N - 60 - 250 = 65

                                      10N - 1500/N - 60 = 65

                                 10N - 1500/N - 125 = 0

                                    N - 150/N - 12,5 = 0

                                   N² - 150 - 12,5N = 0

                                   N =  20 plantes !  

■ vérif : achat de 20 plantes à 12,5o €/plante

             vente de 14 plantes à 22,5o €/plante

             Bénéf = 14x22,5 - 20x12,5 = 65 €uros

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