caylus
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Bonjour, Comme le site semble un peu trop calme,... et pour meubler vos longues soirées confinées d'été.
On considère la fonction F qui, à tout entier n strictement positif, associe le nombre de façons d'écrire n comme somme d'au moins deux entiers impairs consécutifs strictement positifs.
Exemples :
F(64) = 3 car 64 = 31 + 33 = 13 + 15 + 17 + 19 = 1 + 3 + ... +15
F(360) = 6
F(4725) = 11. (source d'inspiration : défi turing 232 mais ce n'était pas la question posée!)
1) Trouvez
F(144)=?
F(1344)=?
F(6720)=?

2) Trouver le plus petit naturel n tel que F(n)=84 avec n< 1 000 000 Merci pour vos futures recherches.
Si la programmation python ne fait pas partie de l'informatique, dites le moi .

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications :

■ F(144) = ?

  144 = (2²)² x 3²

        = 71 + 73

        = 33 + 35 + 37 + 39

        = 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29

        = 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25

        = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23

   donc F(144) = 5 .

■ F(360) = 6 est-il vrai ?

   360 = 2³ x 3² x 5

   on peut diviser 360 par 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; mais pas 18 .

   360 = 17 + 19 + 21 + 23 + ... + 43 sera la dernière somme possible !

   donc F(360) = 6 est vérifié !

■ 1344 = (2³)² x 3 x 7      

           = 671 + 673

           = 333 + 335 + 337 + 339

           = 219 + 221 + 223 + 225 + 227 + 229

           = 161 + 163 + 165 + 167 + 169 + 171 + 173 + 175

           = 101 + 103 + 105 + 107 + ... + 123 ( car 1344/12 = 112 )

           = 83 + 85 + 87 + 89 + ... + 109 ( car 1344/14 = 96 )

           = 67 + 69 + 71 + 73 + ... + 101 ( car 1344/16 = 84 )

           = 31 + 33 + 35 + 37 + ... + 81 ( car 1344/24 = 56 )

           = 19 + 21 + 23 + 25 + ... + 77 ( car 1344/28 = 48 )

           = 9 + 11 + 13 + 15 + ... + 75 ( car 1344/32 = 42 )

    donc F(1344) = 10 .

■ F(4725) = 11 est-il vrai ?

  4725 = 3³ x 5² x 7

  on peut diviser 4725 par 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 15 ; 21 ; 25 ; 27 ;

                                               35 ; 45 ; 63 ; mais pas 75 .

  4725 = 13 + 15 + ... + 137 sera la dernière somme de 63 termes possible !

   F(4725) = 11 est bien vérifié !

■ tableau :

nombre étudié -->  64        144        360          1344       4725                  

décomposition --> (2³)²  (2²)²x3³  2³x3²x5  (2³)²x3x7  3³x5²x7

                  F(n) -->   3          5            6               10           11

■ 6720 = (2³)² x 3 x 5 x 7

on peut diviser 6720 par 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 30 ; 32 ; 40 ; 42 ; 48 ; 56 ; 60 ; 64 ; 70 ; 80 ; mais pas 84 .  

   6720/80 = 84

   6720 = 3 + 5 + 7 + ... 165 sera la dernière somme possible !

   donc F(6720) = 21 .

■ remarque :

il est inutile de tenter de diviser un nombre

par un nombre supérieur à sa racine carrée !

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