Bonsoir ! ;)
Réponse :
Exercice 1 :
1. - La forme 1 est appelée " forme canonique de la fonction f (x) ".
- La forme 2 est appelée " forme factorisée de la fonction f (x) ".
- La forme 3 est appelée " forme développée de la fonction f (x) ".
2. - Forme 1 :
f (x) = 3 (x [tex]-\frac{1}{2}[/tex])² - [tex]\frac{27}{4}[/tex]
( rappel : (a - b)² = a² - 2 * a * b + b² ! )
⇒ f (x) = 3 [ x² - 2 * x * [tex]\frac{1}{2}[/tex] + ( [tex]\frac{1}{2}[/tex] )² ] - [tex]\frac{27}{4}[/tex]
⇒ f (x) = 3 (x² - x + [tex]\frac{1}{4}[/tex]) - [tex]\frac{27}{4}[/tex]
⇒ f (x) = 3 * x² + 3 * (- x) + 3 * [tex]\frac{1}{4}[/tex] - [tex]\frac{27}{4}[/tex]
⇒ f (x) = 3x² - 3x + [tex]\frac{3}{4}[/tex] - [tex]\frac{27}{4}[/tex]
⇒ f (x) = 3x² - 3x - 6
- Forme 2 :
f (x) = 3 (x + 1) (x - 2)
⇒ f (x) = 3 [ x * x + x * (- 2) + 1 * x + 1 * (- 2) ]
⇒ f (x) = 3 (x² - 2x + x - 2)
⇒ f (x) = 3 (x² - x - 2)
⇒ f (x) = 3 * x² + 3 * (- x) + 3 * (- 2)
⇒ f (x) = 3x² - 3x - 6
- Forme 3 :
f (x) = 3x² - 3x - 6
⇒ Les trois formes sont donc bien égales !
3. a. VRAI !
En effet, d'après la forme 3 : f (x) = 3x² - 3x - 6
donc f (0) = 3 * 0² - 3 * 0 - 6
⇒ f (0) = - 6
- 6 est bien l'image de 0 par f.
b. VRAI !
En effet, d'après la forme 2 : f (x) = 0 si et seulement si : 3 (x + 1) (x - 2) = 0.
Or, un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul, c'est-à-dire si :
x + 1 = 0 ou x - 2 = 0
⇒ x = - 1 ou x = 2
L'équation f (x) = 0 admet bien exactement deux solutions : - 1 et 2.
c. VRAI !
En effet, d'après la forme 1 : f (x) = 3 (x [tex]-\frac{1}{2}[/tex])² - [tex]\frac{27}{4}[/tex].
Or, le minimum est atteint lorsque : ( x [tex]-\frac{1}{2}[/tex] )² = 0, c'est-à-dire lorsque : x = [tex]\frac{1}{2}[/tex] !
Et si x = [tex]\frac{1}{2}[/tex], on a :
f ( [tex]\frac{1}{2}[/tex] ) = 3 ( [tex]\frac{1}{2}[/tex] - [tex]\frac{1}{2}[/tex] )² - [tex]\frac{27}{4}[/tex]
⇒ f ( [tex]\frac{1}{2}[/tex] ) = [tex]-\frac{27}{4}[/tex].
[tex]-\frac{27}{4}[/tex] est donc bien le minimum de la fonction.
d. VRAI !
En effet, d'après la forme 3 : f (x) = 3x² - 3x - 6
donc f ( [tex]\frac{1}{6}[/tex] ) = 3 * ( [tex]\frac{1}{6}[/tex] )² - 3 * [tex]\frac{1}{6}[/tex] - 6
⇒ f ( [tex]\frac{1}{6}[/tex] ) = [tex]-\frac{77}{12}[/tex]
et f ( [tex]\frac{5}{6}[/tex] ) = 3 * ( [tex]\frac{5}{6}[/tex] )² - 3 * [tex]\frac{5}{6}[/tex] - 6
⇒ f ( [tex]\frac{5}{6}[/tex] ) = [tex]-\frac{77}{12}[/tex]
⇒ On a donc bien f ( [tex]\frac{1}{6}[/tex] ) = f ( [tex]\frac{5}{6}[/tex] ) !