Réponse :
1) c'est un polynôme du second degré; la courbe s'appelle parabole
2) B(10) = - 2*10² + 120*10 - 1600 = - 200 + 1200 - 1600 = - 600
ce n'est pas rentable car le bénéfice est négatif
3) a) dresser le tableau de variation complet sur [0 ; 50]
B '(x) = - 4 x + 120 ⇒ B '(x) = 0 = - 4 x + 120 ⇔ x = 120/4 = 30
B(30) = - 2*30² + 120*30 - 1600 = - 1800 + 3600 - 1600 = 200
x 0 30 50
B(x) -1600 →→→→→→→→→→→ 200 →→→→→→→→→→→ - 600
croissante décroissante
b) pour réaliser un bénéfice maximal elle doit vendre 30 boissons
le bénéfice maximal est de 200 (en centaine d'euros) soit 20 000 €
4) a) montrer que B(x) = (40 - 2 x)(x - 40)
B(x) = - 2 x² + 120 x - 1600
= - 2(x² - 60 x + 800)
= - 2(x² - 60 x + 900 - 900 + 800)
= - 2((x - 30)² - 100)
= - 2((x - 30 + 10)(x - 30 - 10)
= - 2(x - 20)(x - 40)
= (- 2 x + 40)(x - 40)
= (40 - 2 x)(x - 40)
b) en déduire les solutions de B(x) = 0
B(x) = 0 ⇔ (40 - 2 x)(x - 40) = 0 ⇔ 40 - 2 x = 0 ⇔ x = 20
ou x - 40 = 0 ⇔ x = 40 ⇔ S = {20 ; 40}
5) a) dresser le tableau de signes de la fonction B
x 0 20 40 50
40 - 2 x + 0 - -
x - 40 - - 0 +
B(x) - 0 + 0 -
b) pour que le bénéfice soit positif il faut qu'elle vend la quantité de boissons appartenant à l'intervalle ]20 ; 40[
Explications étape par étape