maths14yahou
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Bonjour, J'ai un exercice, pourriez vous m'aider s'il vous plaît. Merci par avance Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,i,j). Le mat viellissant d'un drapeau , modélisé par un ordinateur a la forme d'un triangle ABC tel que A(4;5) , B(-4;1) et C(0;-3). On désire placer un nouveau mat au centre de gravité du terrain ABC. On souhaite donc déterminer la position du nouveau mat et gazonner le terrain. On note I le milieu du segment [BC].

1) Faire une figure

2) Calculer les coordonnées du centre de gravité G de ABC.

3)Justifier que le triangle ABC est isocèle en A.

4-a) Déterminer une équation cartésienne de la droite (BC)

b) En déduire que AI=6√2

c) Calculer l'aire du triangle ABC à gazonner.

Sagot :

Réponse :

bonjour

1) Sur un repère orthonormé (O,i,j) place les points A,B,C puis les autres au fur et à mesure .

2)I milieu de [BC] :  xI=(xB+xC)/2=-2 et yI=(yB+yC)/2=-1 donc I(-2;-1)

3) G est le centre de gravité du triangle ABC donc vecAG=(2/3)vecAI (propriété du centre de gravité)

vecAI:  xAI=xI-xA=-6 et yAI=yI-yA=-6   le vecteur AI a pour composantes (-6; -6)

donc xG=xA+(2/3)xAI=4-4=0  et yG=yA+(2/3)yAI=5-4=+1  

coordonnées du centre de gravité  G(0; 1)

3) ABC isocèle en A si AB=AC

AB=rac[xB-xA)²+(yB-yA)²]=rac(8²+4²)=4rac5

AC=rac[(xC-xA)²+(yC-yA)²]=rac(8²+4²)=4rac5

ABC est bien isocèle en A

4-a) équation de (BC)  vecteur directeur BC(-4;+4)

elle passe par B donc 4xB+4yB+c=0 soit -16+4+c=0 donc c=12

soit (BC)  4x+4y+12=0 ou x+y+3=0 ou y=-x-3) (équation réduite)

4-b) Comme ABC est isocèle en A la médiane AI est aussi la hauteur issue de A du triangle ABC.

AI=rac[(xA-xI)²+(yI-yA)²]=rac(6²+6²)=6rac2

4-c) Aire ABC=BC*AI/2  or BC = norme du vecBC=rac[(-4)²+4²]=4rac2

aire ABC=(4rac2)*(6rac2)/2=24 u.a

 

Explications étape par étape

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