Réponse :
1) L'équation d'une droite est de la forme y = ax + b avec
[tex]a = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\\\a=\frac{11-7}{3-(-2)} \\\\a = \frac{4}{5}[/tex]
On a
[tex]y=\frac{4}{5} x \: +\:b[/tex]
Et A(-2;7) vérifie l'équation de la droite (AB)
[tex]7=\frac{4}{5}\times(-2)\:+\:b\\\\7 = -\frac{8}{5} +b\\\\7+\frac{8}{5}=b\\\\b=\frac{43}{5}[/tex]
L'équation de (AB) est :
[tex]y=\frac{4}{5}x+\frac{43}{5}[/tex]
2)
C(4;12) appartient à (AB) si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite.
[tex]\frac{4}{5} \times 4 + \frac{43}{5}=\frac{16}{5} + \frac{43}{5}\\\frac{4}{5} \times 4 + \frac{43}{5}=\frac{59}{5}[/tex]
[tex]\frac{59}{5} \neq 12[/tex]
Le point C n'appartient pas à (AB)
3) La parallèle à (AB) passant par C a le même coefficient directeur a.
[tex]y=\frac{4}{5}x+b[/tex]
Le point C vérifie l'équation de (d) :
[tex]12=\frac{4}{5}\times4+b\\ \\12=\frac{16}{5}+b\\ \\12-\frac{16}{5}=b\\ \\\\b=\frac{44}{5}[/tex]
Une équation de (d) est
[tex]y=\frac{4}{5}x+\frac{44}{5}[/tex]
4) La droite Δ et la droite (AB) n'ont pas le même coefficient directeur. ELles ne sont pas parallèles.
On résout le systeme :
[tex]\left \{ {{y=\frac{4}{5}x+\frac{43}{5} } \atop {y=-2x+30}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{y=\frac{4}{5}x+\frac{43}{5} } \atop {\frac{4}{5}x+\frac{43}{5} =-2x+30}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{y=\frac{4}{5}x+\frac{43}{5} } \atop {\frac{4}{5}x+ 2x= -\frac{43}{5}+30}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{y=\frac{4}{5}x+\frac{43}{5} } \atop {\frac{14}{5}x= \frac{107}{5}}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{y=\frac{4}{5}x+\frac{43}{5} } \atop {x= \frac{107}{14}}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{y=\frac{4}{5}\times \frac{107}{14} +\frac{43}{5} } \atop {x= \frac{107}{14}}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{y=\frac{103}{7} } \atop {x= \frac{107}{14}}} \right.[/tex]
Les droites (AB) et Δ se coupent en [tex](\frac{107}{14} ; \frac{103}{7} )[/tex]
5) voir photo
