Réponse :
f(x) = (2 x² + 3 x - 1)/(x² + x - 2) or x² + x - 2 ≠ 0 ⇔ (x + 2)(x - 1) ≠ 0
pour que la fonction existe il faut que x ≠ - 2 et x ≠ 0 donc Df = R\{-2 ; 1}
1) dresser le tableau de signes de f
f(x) = 0 ⇔ 2 x² + 3 x - 1 = 0
Δ = 9 + 8 = 17 > 0 on a deux racines distinctes
x1 = (- 3+√17)/4 ≈ 0.3
x2 = (- 3-√17)/4 = - 3.6
x - ∞ - 3.6 - 2 0.3 1 + ∞
2 x²+ 3 x - 1 + 0 - - 0 + +
x² + x - 2 + + || - - || +
f(x) + 0 - || + 0 - || +
2) donner l'expression de f '(x)
f '(x) = [(4 x + 3)(x² + x - 2) - (2 x + 1)(2 x² + 3 x - 1)]/(x²+x-2)²
= (4 x³ + 4 x² - 8 x + 3 x² + 3 x - 6) - (4 x³ + 6 x² - 2 x + 2 x² + 3 x - 1)/D²
= (4 x³ + 7 x² - 5 x - 6) -(4 x³ + 8 x² + x - 1)/(x²+x-2)²
= (4 x³ + 7 x² - 5 x - 6 - 4 x³ - 8 x² - x + 1)/(x²+x-2)²
f '(x) = (- x² - 6 x - 5)/(x²+x-2)²
3) dresser le tableau de signe de f '(x)
f '(x) = (- x² - 6 x - 5)/(x²+x-2)² or (x²+ x - 2)² > 0 donc le signe de f '(x) dépend du signe de - x² - 6 x - 5
Δ = 36 - 20 = 16 ⇒ √16 = 4
x1 = 6 + 4)/- 2 = - 5
x2 = 6 - 4)/-2 = - 1
x - ∞ - 5 - 1 + ∞
f '(x) - 0 + 0 -
Explications étape par étape