Emma098
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Soit ABC un triangle tel que :AB=c et AC=b. BC=a

Soit S la surface du triangle ABC .on pose:p=(a+b+c)/2

(p est la moitié du périmètre de ABC )

Q1: montrez que: 16S^2=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2

Q2:en déduire : S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))
Aidez-moi, s'il vous plaît

Sagot :

Tenurf

Réponse :

Explications étape par étape

Bonjour Emma098,

Il semblerait que Héron d'Alexandrie soit surtout connu pour ses travaux en optique.

Cependant, il a laisse une trace dans le domaine des mathématiques avec sa formule, dite formule de Héron  

qui permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque en fonction de la moitié de son périmètre et de la longueur des côtés.

C'est un exercice sympa à faire.

Utilison le théorème de Pyhtagore

tu sais que l'aire d'un triangle est sa base multipliée par sa hauteur divisée par deux.

comment trouver la hauteur, notons h

Prenons la hauteur qui passe par C, elle coupe AB en H avec un angle droit.

je te joins une figure

dans le triangle rectangle AHC, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore

(1) [tex]b^2 = h^2 + AH^2[/tex]

dans le triangle rectangle HBA, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore

(2) [tex]a^2 = h^2 + (c - AH)^2[/tex]

Si on fait (2) - (1)

[tex]a^2 - b^2 = h^2 + (c - AH)^2 - ( h^2 + AH^2 ) = (c - AH)^2 - AH^2 = c^2 - 2 c*AH[/tex]

donc

[tex]AH = (b^2 + c^2 - a^2 ) / 2c[/tex]

on peut remplacer dans (1) ce qui donne

[tex]h^2 = b^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2 / 4c^2[/tex]

or S = ch/2

donc[tex]4 S^2 = c^2 h^2[/tex]

donc [tex]4*4 S^2 = 4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2[/tex]

soit

[tex]16 S^2 = 4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2[/tex]

c'est ce qui était demandé dans la première question

et maintenant, faisons les calculs

nous connaissons notre identité remarquable

pour tout a et b réels [tex]a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)[/tex]

nous allons l'utiliser plusieurs fois

donc

[tex]16 S^2 = (2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)\\= ((b+c)^2 - a^2)(a^2-(b-c)^2)\\= (b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)[/tex]

or p = (a+b+c)/2

donc a+b+c = 2p

b+c-a = a+b+c - 2a = 2(p-a)

a+b-c = a+b+c -2c = 2(p-c)

a+c-b = a+b+c - 2b= 2(p-b)

donc

[tex]16 S^2 = 2(p-a)2p2(p-c)2(p-b)\\= 16p(p-a)(p-b)(p-c)[/tex]

les 16 s'éliminent

donc

[tex]s^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)[/tex]

et donc (comme S doit être positif)

[tex]S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]

n'hésite pas si tu as des questions

si jamais tu as apprécié cette réponse tu peux la mettre comme la meilleure :-)

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