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HELP !! Équation Différentielle y’=ay+by^n En fonction de z=y^1-n

PS: Si vous ne savez pas s’il vous plaît écrivez en commentaire, c’est mes derniers points et c’est la 3eme fois que je repost....

Merci à Tous

HELP Équation Différentielle Yaybyn En Fonction De Zy1n PS Si Vous Ne Savez Pas Sil Vous Plaît Écrivez En Commentaire Cest Mes Derniers Points Et Cest La 3eme F class=

Sagot :

tommus

Bonjour,

Bon, normalement, ce que j'ai est bon, j'espère ne pas avoir fait d'erreur de calcul.

Question 1. Comme [tex]y(t)>0[/tex], alors [tex]y(t)^n>0[/tex].

[tex]y'(t)=ay(t)+by(t)^n\\y'(t)-ay(t)=by(t)^n\\\dfrac{y'(t)}{y(t)^n} - \dfrac{ay(t)}{y(t)^n} = b[/tex]

Or, [tex]\dfrac{y(t)}{y(t)^n} = y(t)^{1-n}=z(t)[/tex] et [tex]z'(t)=(1-n)\dfrac{y'(t)}{y(t)^n}[/tex]. Donc

[tex]z'(t)+(n-1)z(t)=(1-n)b[/tex]

Question 2.

Solutions de l'équation homogène : [tex]z_0(t) = c.e^{-(n-1)at}, c \in \mathbb{R}[/tex]

Solution particulière : [tex]z_p(t)=g(t)e^{-(n-1)at}[/tex] où [tex]g[/tex] est une primitive de [tex](1-n)be^{(n-1)at}[/tex]. Donc [tex]g(t) = -\dfrac{b}{a} e^{(n-1)at}[/tex].

D'où [tex]z_p(t) = -\dfrac{b}{a} e^{(n-1)at}.e^{-(n-1)at} = -\dfrac{b}{a}[/tex]

Solution générale : [tex]z(t)=z_p(t) = c.e^{-(n-1)at} -\dfrac{b}{a}, c \in \mathbb{R}[/tex]

Après, tu termines en utilisant z(t)=y(t)^{1-n]

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