Question 1.
On remplace [tex]x[/tex] par -1 et si le résultat final est 0, alors -1 est racine du polynôme.
[tex]02 \times (-1)^3 - 3 \times (-1)^2 + 4 \times (-1) - 3\\= 2 \times (-1) + 3 \times 1 - 4 \times 1 - 3\\= -2 - 3 - 4 - 3\\=-12 \neq 0[/tex]
L'affirmation est fausse.
Question 2.
[tex]x^3=-4[/tex] admet une unique solution. En effet, la fonction [tex]x[/tex] qui associe [tex]x^3[/tex] est continue et strictement croissante sur [tex]\mathbb{R}[/tex], et ce pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].
Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique [tex]c \in \mathbb{R}[/tex] tel que [tex]c^3=-4[/tex].
L'affirmation est vraie.
Question 3.
[tex]p(x)=3(x-1)(x-4)^2[/tex]
Ici, nous avons la forme factorisée de [tex]p[/tex]. Ses racines sont [tex]1[/tex] (racine simple) et [tex]4[/tex] (racine double en raison du carré). Il y a deux racines distinctes et non 3.
Donc l'affirmation est fausse.
Bonne journée !
