Lau34
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J'ai un DM de maths pour lundi et franchement je n'ai rien comrpis Soit g la fonction définie sur ℝ par : g(x) = (x²-4)/(x²+4) Montrer que g(x) peut s’écrire sous les formes suivantes : g(x) = 1-8/(x²+4)=2x²/(x²+4)-1 Utiliser l’une ou l’autre des ces formes pour répondre aux questions suivantes : a) Résoudre g(x) = 0 b) Montrer que pour tout réel x, g(x) < 1 c) Montrer que pour tout réel x, g(x) ≥ -1

Sagot :

(x²-4)/(x²+4)=(x²-4+4-4)/(x²+4)

=(x²+4 - 8)/(x²+4)

=(x²+4)/(x²+4)-8/(x²+4)

=1 - 8/(x²+4)

 

On a aussi:

(x²-4)/(x²+4)=(x² - 4-2x²+2x²)/(x²+4)

=(-x² - 4+2x²)/(x²+4)

=(-x² - 4)/(x²+4) +2x²/(x²+4)

=-(x² + 4)/(x²+4) +2x²/(x²+4)

= -1 + 2x²/(x²+4)

 

Voilà pour les deux autres formes que tu dvais trouver pour g(x).

 

 

g(x)=0 <=> (x²-4)/(x²+4) =0

Comme (x²+4)>0 (strictement supérieur), c'est aussi équivalent à:

x²-4 =0

<=> x² =4

Soit, x=2 ou x= -2

 

Pour tout x, on a: 8/(x²+4) > 0

<=>  -8/(x²+4) < 0

<=> 1 -8/(x²+4) < 1

<=> g(x) < 1

 

De même, pour tout x, on a: 2x²/(x²+4) ≥0

<=> 2x²/(x²+4) -1 ≥ -1

<=> g(x) ≥ -1

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