Bonjour,
On considère [tex]\boxed{(E): 3y'+1500y=2500}[/tex].
1) On cherche les solutions de l'équation homogène. On sait que ce sont les fonctions [tex]x \mapsto \lambda \mathrm{e}^{-\frac{1500}{3}x}=\lambda \mathrm{e}^{-500x}[/tex].
2) Soit y une fonction constante solution de (E).
y'=0, donc 1500y=2500 soit [tex]y=\frac{5}{3}[/tex].
3) Les solutions de (E) sont donc les fonctions [tex]x \mapsto \lambda \mathrm{e}^{-500x}+ \frac{5}{3}[/tex], [tex]\lambda \in \mathbb{R}[/tex].
4) f est une des fonctions précédentes et vérifie f(0)=1, donc [tex]\lambda=1-\frac{5}{3}=\frac{-2}{3}[/tex].
Ainsi, [tex]f : t \mapsto \frac{-2}{3} \mathrm{e}^{-500t}+\frac{5}{3}[/tex] (réponse c).
5) Pour t réel :
[tex]f(t) >1,5 \iff \frac{-2}{3} \mathrm{e}^{-500t} > \frac{-1}{6} \iff \mathrm{e}^{-500t} < \frac{1}{4} \iff -500t < -\ln(4) \iff 500t>\ln(4) \iff t>\frac{\ln(4)}{500}[/tex]
