Réponse :
Question 1.
[tex]u_1 = \dfrac{u_0}{3u_0+1} = \dfrac{2}{3\times 2+1} = \dfrac{2}{7}\\u_2 = \dfrac{u_1}{3u_1+1} = \dfrac{\frac{2}{7} }{3\times \frac{2}{7} +1} = \dfrac{\frac{2}{7} }{\frac{6}{7} +1} = \dfrac{\frac{2}{7} }{\frac{13}{7}}= \dfrac{2}{7} \times \dfrac{7}{13} = \dfrac{2}{13}\\u_3 = \dfrac{u_2}{3u_2+1} = \dfrac{\frac{2}{13} }{3\times \frac{2}{13} +1} = \dfrac{\frac{2}{13} }{\frac{6}{13} +1} = \dfrac{\frac{2}{13} }{\frac{19}{13}}= \dfrac{2}{13} \times \dfrac{13}{19} = \dfrac{2}{19}\\[/tex]
[tex]v_1 = \dfrac{7}{2}=3,5\\v_2 = \dfrac{13}{2}=6,5\\v_3= \dfrac{19}{2}=9,5[/tex]
Question 2.
Puisque [tex]u_n\neq 0[/tex] pour tout n :
[tex]v_{n+1}-v_n = \dfrac{1}{u_n+1} - \dfrac{1}{u_n} \\v_{n+1}-v_n = \dfrac{3u_n+1}{u_n} - \dfrac{1}{u_n}\\v_{n+1}-v_n = \dfrac{3u_n+1-1}{u_n} \\v_{n+1}-v_n = \dfrac{3u_n}{u_n} \\v_{n+1}-v_n = 3[/tex]
Question 3.
[tex](v_n)[/tex] est une suite arithmétique de raison 3, donc [tex]v_n=v_0+nr = \dfrac{1}{2} + 3n[/tex].
Puisque [tex]v_n=\dfrac{1}{u_n}[/tex], alors [tex]u_n = \dfrac{1}{\dfrac{1}{2} + 3n } = \dfrac{1}{\dfrac{1+6n}{2} } = \dfrac{2}{1+6n}[/tex]
Bonne journée !
