Pour l'ensemble de définition : soit a un réel quelconque [tex]a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}}[/tex]
donc si a=[tex]1+x+x^{2}[/tex] et [tex]m/n=2/3[/tex] on a φ(x)=[tex]\sqrt[3]{(1+x+x^{2})}[/tex] or la fonction racine cubique est définie pour tout x réel (que x soit positif ou négatif ne change rien)
Pour les limites : pour la limite en [tex]-\infty[/tex] on va faire tendre x vers [tex]-\infty[/tex].
concrètement, on remplace x par [tex]-\infty[/tex] on a donc : [tex]\lim_{x \to -\infty}[/tex] φ(x) = [tex]\lim_{n \to \infty}\sqrt[3]{(1-\infty+(-\infty)^{2})}= \lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{(1-\infty+\infty^{2})}[/tex] or tu seras d'accord que [tex]\infty^{2}-\infty=\infty[/tex] car on parle d'un nombre très grand et en plus au carré alors si on enlève une petite part de ce carré il en reste encore beacoup d'où la relation précédente. Ensuite on a donc : [tex]\lim_{x \to -\infty}\sqrt[3]{(1+\infty)^{2}} = \lim_{x \to -\infty}\sqrt[3]{(\infty)^{2}}= \lim_{x \to -\infty}\sqrt[3]{\infty}=\infty[/tex]
tu fais de même avec [tex]+\infty[/tex] et tu trouves [tex]\lim_{x \to \infty}[/tex]φ(x)=[tex]\infty[/tex]
Pour la dérivée :
φ est du type (u^n) qui se dérive ainsi : [tex]n * u' * u^{n-1}[/tex]
ici n=2/3 et u(x)=(1+x+x²) d'où u'(x)= 1+2x (renvoie un msg si tu ne comprends pas cette étape)
d'où φ'(x)= [tex]2/3 * (1+2x)* (1+x+x^{2})^{1-2/3}[/tex]= [tex]2/3 * (1+2x) * (1+x+x^{2})^{-1/3}[/tex]
Pour le tableau de variation :
On sait que du signe de φ'(x) on peut déduire les variations de φ. En effet, si φ'(x)>0 sur un intervalle I, φ est croissante sur I.
Tu auras deviné la suite : si φ'(x)<0 sur I, alors φ est décroissante sur I.
On va donc chercher le signe de φ'(x)=[tex]2/3 * (1+2x) * (1+x+x^{2})^{-1/3}[/tex] (c'est à dire si φ'(x) est supérieur ou inférieur à 0)
cela revient à résoudre [tex]2/3 * (1+2x) * (1+x+x^{2})^{-1/3}=0[/tex]
On simplifie par 2/3 d'où :[tex](1+2x) * (1+x+x^{2})^{-1/3}[/tex]=0
C'est une équation produit nul (que tu as vues en seconde voire troisième)
[tex](1+2x)=0[/tex] ou [tex](1+x+x^{2})^{-1/3}=0\\1+x+x^{2}=0\\x^{2}+x+1=0\\[/tex]c'est un trinôme on calcule son discriminant Δ: Δ=b²-4ac avec a=1, b=1 et c=1 d'après l'équation
donc Δ=1²-4*1*1=1-4=-3<0 donc ce trinôme n'admet pas de racines (valeurs de x pour les quelles φ'(x)=0)
donc pour [tex]x=-1/2[/tex] φ'(x)=0.
On en déduit le signe de φ'(x):
sur ][tex]-\infty[/tex];-1/2[ φ'(x)<0 donc φ est décroissante sur ][tex]-\infty[/tex];-1/2[
sur ]-1/2; [tex]\infty[/tex][ φ'(x)>0 donc φ est croissante sur ]-1/2; [tex]\infty[/tex][
pour x=-1/2, φ'(x) s'annule en changeant de signe donc φ admet un extremum qui est un minimum (puisque φ passe d'une phase décroissante à croissante) en x=-1/2 et cet extremum vaut
φ(-1/2)=[tex](1-\frac{1}{2} +(-\frac{1}{2})^{2})^{2/3}=(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})^{2/3}=(\frac{3}{4})^{2/3}[/tex]