cintapouwele
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Bonjour

j'ai un urgent besoin d'aide dans mon devoir en algebre linéaire (matrices) je ne sais meme pas ou commencer :(

Merci de votre aide!

Soit la matrice M =   1  1
                                1  0


Posons Lambda =  (1 – racine de 5) divisé par 2

Considérons l'ensemble des vecteurs colonnes X ayant la propriété que MX = lambdaX et appelons le E

A)    Vérifier que le vecteur colonne lambda, 1 appartient à l’ensemble E
B)    Vérifier que l’ensemble E est un sous espace de R2c en vérifiant que les 3 conditions requises de la définition soient satisfaites
-    0 appartient au sous espace
-    Pour tout u,v appartenant au sous espace, on a u + v appartient au sous-espace
-    Pour tout u appartenant au sous espace, et c appartenant aux réels, on a que cu appartient au sous espace

Sagot :

A)Calculons le produit de M par le vecteur [tex]\left( \begin{array}{c} lambda \\ 1 \end{array} \right)[/tex].

 

[tex]MX=\left( \begin{array}{cc} 1&1 \\ 1&0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} lambda \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} lambda +1 \\ lambda+0 \end{array} \right)\\

=lambda\left( \begin{array}{c} 1+1/lambda \\ 1end{array} \right)[/tex]

 

Or, lambda est une solution de [tex]x^2-x-1=0[/tex], ce qui signifie que [tex]lambda=1+1/lambda[/tex].

 

Donc [tex]MX=lambda\left( \begin{array}{c} lambda \\1 \end{array} \right)[/tex]

 

Et on a montré que [tex]\left( \begin{array}{c} lambda \\ 1 \end{array} \right)[/tex] vérifie la propriété, donc appartient à l'ensemble E.

 

B) 0 est ici le vecteur vertical [tex]\left( \begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array} \right)[/tex]

 

On a bien: M*0=0=lambda*0

 

u appartient à E entraine : Mu=lambda*u

v appartient à E entraine : Mv=lambda*v

 

De plus, la multiplication d'une matrice par un vecteur est distributive: M(X+Y)=MX+MY

Donc: M(u+v)=Mu+Mv=lambda*u+lambda*v=lambda(u+v)

=> u+v appartient à E

 

M(cu)=c*Mu=c*lambda*u=lambda*(cu)

 

Donc cu appartient à E.

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