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Sagot :
Réponse : Bonjour, la fonction f est périodique, de période [tex]2\pi[/tex].
Il suffit donc d'étudier les variations de f sur l'intervalle [0;[tex]2\pi[/tex]].
On calcule la dérivée f':
[tex]f'(x)=4 \cos(x)-\cos(x)2\sin(x)=4\cos(x)-2\sin(x)\cos(x)\\f'(x)=\cos(x)(4-2 \sin(x))[/tex]
On résout l'équation f'(x)=0:
[tex]\displaystyle \cos(x)(4-2 \sin(x))=0\\\cos(x)=0 \quad ou \quad 4-2 \sin(x)=0\\x=\frac{\pi}{2} \; [2\pi] \quad ou \quad 2\sin(x)=4\\x=\frac{\pi}{2}[\pi] \quad ou \quad \sin(x)=2[/tex]
Comme pour tout [tex]x \in \mathbb{R}, -1 \leq \sin(x) \leq 1[/tex], alors l'équation [tex]\sin(x)=2[/tex], n'a pas de solution.
Les extremums de f sont donc atteints en [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex] et [tex]x=\frac{3\pi}{2}[/tex].
On étudie le signe de f'(x).
On a que [tex]\cos(x) \geq 0[/tex], sur l'intervalle [tex]\displaystyle [0;\frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2};2\pi][/tex], et [tex]\cos(x) \leq 0[/tex], sur l'intervalle [tex]\displaystyle [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}][/tex].
On résout l'inéquation [tex]4-2 \sin(x) \geq 0[/tex]:
[tex]4-2 \sin(x) \geq 0\\2 \sin(x) \leq 4\\\sin(x) \leq 2[/tex]
Donc [tex]4-2 \sin(x) \geq 0[/tex], sur [tex]\mathbb{R}[/tex], donc sur [tex][0;2\pi][/tex].
On a donc le tableau suivant:
x 0 [tex]\displaystyle \frac{\pi}{2}[/tex] [tex]\displaystyle \frac{3\pi}{2}[/tex] [tex]2\pi[/tex]
[tex]\cos(x)[/tex] + Ф - Ф +
[tex]4-2 \sin(x)[/tex] +
f'(x) + Ф - Ф +
f(x) (croissante) (décroissante) (croissante)
Comme dit précédemment, les extremums de f sont atteints en [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex], et [tex]x=\frac{3\pi}{2}[/tex].
Au vu des variations de f, le maximum de f est atteint en [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex], et ce maximum vaut:
[tex]\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=4 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)^{2}=4-1=3[/tex].
Le maximum de f sur [tex]\mathbb{R}[/tex] est donc égal à 3.
Le minimum de f est atteint en [tex]x=\frac{3\pi}{2}[/tex], et ce minimum vaut:
[tex]\displaystyle f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=4 \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)-\left(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right)^{2}=4 \times (-1)-(-1)^{2}=-4-1=-5[/tex]
Le minimum de f sur [tex]\mathbb{R}[/tex] est donc égal à -5.
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