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Bonjour, je suis un élève de première. C'est la première fois que je demande de l'aide sur internet Mais j'ai un exercice que je n'arrive vraiment pas à résoudre, voici l'énoncé :
"Trouver tous les nombres réels a tels que a + 2/3 et 1/a − 3/4 soient des entiers."
Je vous remercie pour votre aide par avance :-)

Sagot :

olivierronat

Réponse :

Explications étape par étape

[tex]a+\dfrac{2}{3} =\dfrac{3a+2}{3} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 3\ divise\ 3a+2 \Rightarrow a\in \mathbb{Q} \ et \ 3a\in \mathbb{Z} \\Donc\ a=\dfrac{k}{3} \Rightarrow 3\ divise\ k+2 \Rightarrow k\equiv 1(3)\\[/tex]

Donc le reste de k par 3 est 1

[tex]\dfrac{1}{a} -\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{k}-\dfrac{3}{4} =3\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{4}\right)\Rightarrow \left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{4}\right)\in \mathbb{Z}\\[/tex]

or [tex]-1\leq\dfrac{1}{k} \leq 1 \Rightarrow -\dfrac{5}{4}\leq\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{4}\leq \dfrac{3}{4}[/tex]

Les seuls entiers dans l'intervalle sont -1 et 0.

Donc k=4 seule solution car pour -1 on a k non entier

D'où la seule de a possible est 4/3

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