Bonjour !
1) [tex]z=\mathrm{e}^{2\mathrm{i} \theta}+1[/tex]
On commence par écrire 1 sous forme exponentielle ([tex]1=\mathrm{e}^{2\mathrm{i} \pi}[/tex]), puis on factorise par l'arc moitié :
[tex]z=\mathrm{e}^{2\mathrm{i} \theta}+\mathrm{e}^{2\mathrm{i} \pi}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\pi+\theta)}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta - \pi)}+\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\pi-\theta)})=\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\pi+\theta)}(2\cos(\theta-\pi))[/tex].
Donc, pour [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], [tex]z^n=2^n\cos^n(\theta-\pi)\mathrm{e}^{\mathrm{i}n(\pi+\theta)[/tex]
puis : [tex]\boxed{\Re(z^n)=2^n\cos^n(\theta-\pi)\cos(n(\pi+\theta))}\\\boxed{\Im(z^n)=2^n\cos^n(\theta-\pi)\sin(n(\pi+\theta))}[/tex].
2) [tex]z=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}-1[/tex]
On fait comme précédemment :
[tex]z=\mathrm{e}^{2\mathrm{i} \theta}-\mathrm{e}^{2\mathrm{i} \pi}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\pi+\theta)}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta - \pi)}-\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\pi-\theta)})=\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\pi+\theta)}(2\mathrm{i}\sin(\theta-\pi))[/tex].
Donc, pour [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], [tex]z^n=(2i)^n\mathrm{e}^{\mathrm{i}n(\pi+\theta})\sin^n(\theta-\pi)[/tex].
C'est un peu plus compliqué, puisqu'il faut faire les cas n pair et n impair.
- Si n est pair : [tex]\boxed{\Re(z^n)=(-1)^{n/2}2^n\sin^n(\theta-\pi)\cos(n(\pi+\theta))}\\\boxed{\Im(z^n)=(-1)^{n/2}2^n\cos^n(\theta-\pi)\sin(n(\pi+\theta))}[/tex].
-Si n est impair : [tex]\boxed{\Re(z^n)=(-1)^{(n+1)/2}2^n\sin^n(\theta-\pi)\sin(n(\pi+\theta))}\\\boxed{\Im(z^n)=(-1)^{(n-1)/2}2^n\sin^n(\theta-\pi)\cos(n(\pi+\theta))}[/tex]
J'espère ne pas arriver trop tard...
