Réponse :
1. a) calculer les coordonnées de vec(AB) et vec(CD)
vec(AB) = (3+9 ; 5 - 7) = (12 ; - 2)
vec(CD) = (- 4 - 8 ; 0 + 2) = (- 12 ; 2)
b) en déduire la nature du ABCD
ABCD est un parallélogramme car vec(AB) = vec(DC)
or vec(DC) = -vec(CD)
2) a) calculer les coordonnées de M et N
M milieu de (AB) ⇔ M((3-9)/2 ; (5+7)/2) ⇔ M(- 3 ; 6)
N(x ; y) tel que vec(DN) = 1/2)vec(DC) ⇔ (x + 4 ; y) = 1/2(12 ; - 2) = (6 ; - 1)
⇔ x + 4 = 6 ⇔ x = 6 - 4 = 2 et y = - 1 ⇔ N(2 ; - 1)
b) calculer le déterminant des vecteurs MD et BN
vec(MD) = (- 4 + 3 ; 0 - 6) = (- 1 ; - 6)
vec(BN) = (2 - 3 ; - 1 - 5) = (- 1 ; - 6)
le déterminant D = x'y - y'x ⇔ D = - 1*(-6) - (- 6)*(-1) = 6 - 6 = 0
c) calculer la norme de vec(BM) , vec(BN) et vec(MN)
vec(BM) = (- 3 - 3 ; 6 - 5) = (- 6 ; 1) ⇒ ||BM|| = √((-6)²+ 1²) = √37
vec(BN) = (- 1 ; - 6) ⇒ ||BN|| = √((-1)² + (-6)²) = √37
vec(MN) = (2+3 ; - 1-6) = (5 ; - 7) ⇒ ||MN|| = √(5²+(-7)²) = √74
d) montrer que MBN est un triangle rectangle
BM² + BN² = 37 + 37 = 74
MN² = 74
on a BM²+ BN² = MN² donc d'après la réciproque du th.Pythagore
le triangle MBN est rectangle isocèle en B
e) en déduire la nature du quadrilatère MBND
MBND est un carré car MB = BN et ^MBN est droit
Explications étape par étape