Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
On va calculer le volume d'eau nécessaire pour recouvrir cette 1ère bille de rayon 4 cm.
La hauteur de l'eau est de 8 cm. OK ?
V total ( bille + eau)=π*10²*8=800π
V bille=(4/3)π*4³=256π/3
V eau seule=800π - (256π/3)=(2400π-256π)/3
V eau seule=2144π/3--->ligne (1)
Y a-t-il une nouvelle bille de rayon R≠4 cm susceptible d'être recouverte exactement par ce même volume d'eau ?
V nouvelle bille=(4/3)π*R³
La hauteur d'eau qui recouvre la bille est de "2R". OK ?
V eau + nouvelle bille=π*10²*2R=200π*R
V eau seule après nouvelle bille enlevée=200π*R-(4/3)π*R³
V eau seule après nouvelle bille enlevée=(600π*R-4π*R³)/3--->ligne (2)
Il faut égalité entre ligne (1)et (2). OK ?
On résout donc :
(600π*R-4π*R³)/3=2144π/3
On simplifie par "π/3" qui se trouve dans les 2 membres :
-4R³+600R-2144=0
Ou :
4R³-600R+2144=0--->ligne (3)
On vérifie que R=4 est solution :
4*4³-600*4+2144=256-2400+2144=0
On peut donc mettre (R-4) en facteur dans la ligne (3).
4R³-600R+2144=(R-4)(4R²+bR+c)
On développe le membre de droite :
(R-4)(4R²+bR+c)=4R³+bR²+cR-16R²-4bR-4C
(R-4)(4R²+bR+c)=4R³+R²(b-16)+R(c-4b)-4c
Par identification avec : 4R³-600R+2144 , il faut :
b-16=0 soit b=16
c-4b=-600 ==>c=-600+4*16=-536
-4c=2144 ===>c=-2144/4=-536
Donc on résout :
(R-4)(4R²+16R-536)=0
Qui donne : R=4 , déjà connu.
A résoudre :
4R²+16R-536=0
Δ=16²-4(4)(-536)=8832 > 0
R₁=(-16+√8832)/8≈9.74 et R₂=(-16-√8832)/8≈ -13.74
On ne peut retenir que R₁ ≈9.74 cm qui rentre bien dans ce récipient de 10 cm de rayon et de hauteur 30 cm.
