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Bonjour, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider pour cette exercice c'est pour demain 18h svp je n'y arrive vraiment pas

Soit a ∈ ℝ. Le but de l’exercice est de déterminer l’ensemble des solutions dans ℝ de l’équation (E) : x2 = a d’inconnue x .
1. On suppose que a < 0.
a. Montrer que, pour tout x ∈ ℝ, x2 − a > 0.
b. En déduire que l’ensemble des solutions de (E) est vide.
2. On suppose que a = 0. Montrer que (E) admet pour unique solution x = 0.
3. On suppose maintenant que a > 0.
a. Montrer que, pour tout x ∈ ℝ, x2 − a=( x − √a)(x + √a).
b. En déduire les solutions de l’équation x2 = a.

Sagot :

tommus

Bonsoir !

Question 1.

a) Si [tex]a<0[/tex], alors [tex]-a>0[/tex]. De plus, comme [tex]x^2>0[/tex] (car c'est un carré), alors [tex]x^2-a>0[/tex] pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].

b) Pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex], [tex]x^2-a>0[/tex], donc [tex]x^2>a[/tex]. Donc [tex]x^2[/tex] n'est jamais égal à [tex]a[/tex]. L'équation n'a donc pas de solution.

Question 2. Si [tex]a=0[/tex], alors [tex]x^2=0[/tex]. Donc [tex]x=0[/tex].

Question 3.

a) Comme [tex]a>0[/tex], alors [tex]\sqrt{a}[/tex] existe et pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] :

[tex](x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a}) = x^2 + x\sqrt{a} - x\sqrt{a} - \sqrt{a}^2 = x^2-a[/tex].

b) Pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] :

[tex]x^2=a\\\iff (x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})=0\\\iff x-\sqrt{a} = 0 \textbf{ ou } x+\sqrt{a} = 0\\\iff x=\sqrt{a} \textbf{ ou } x=-\sqrt{a}[/tex]

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