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Bonjour pouvez-vous m’aider pour cet exercice : On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = -x³+3x+18.

1. Etudier le sens de variation de f.

2. Déterminer le signe de f sur ] -ထ;1 ], puis calculer f(3)

3. a. Déterminer le signe de f(x) sur [ 1;+ထ [

b. Pour quelles valeurs de x a-t-on x³≤3x+18


Merci.

Sagot :

jpmorin3

bjr

f(x) = -x³ + 3x + 18

1) variations

f'(x) = -3x² + 3 = 3(-x² + 1) = 3(1 - x²) = 3(1 - x)(1 + x)

tableau de variations

x                     -1                         1

1-x         +                   +              0         -

1+x        -          0        +                         +

f'(x)        -          0        +              0         -

f(x)        ∖                     /                          ∖                

2)

signe de f(x)

x                    -1                       1                    3

f(x)                                         20

          ∖                      /                     ∖

                    16                                             0

                                                                               ∖

f(-1) = 1 - 3 + 18 = 16

f(1) = -1 + 3 + 18 = 20

f(3) = -27 + 9 + 18 = 0

sur l'intervalle ] -∞ ; 1] f(x) est positif (supérieur ou égal à 16)

3)

a)

sur l'intervalle [1 ; +∞[

de 1 à 3 la fonction décroît de 20 à 0 : f(x) est positif sur [1 ; 3]

sur l'intervalle [3 ; + ∞[  la fonction continue à décroître : f(x) est négatif

b)

x³ ≤ 3x + 18

0 ≤ -x³ + 3x + 18       (on retrouve f(x))

les solutions de cette inéquation sont les valeurs de x pour lesquelles

f(x) ≥ 0

réponse :

]-∞ ; 3]

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