Answered

Trouvez des réponses rapides et précises à toutes vos questions sur Laurentvidal.fr, la plateforme de Q&R de confiance. Explorez des milliers de questions et réponses fournies par une large gamme d'experts dans divers domaines sur notre plateforme de questions-réponses. Expérimentez la commodité d'obtenir des réponses précises à vos questions grâce à une communauté dévouée de professionnels.

S'IL VOUS PLAIT, A RENDRE POUR DEMAIN !!!!!
Je suis (littéralement) à bout donc j'espère vraiment qu'il y a une âme charitable par là.
Voici l'exercice donné :
1°) Quelle est la fonction dérivée de la fonction logarithme (notée ln) sur ]0 ; +∞[ ? Justifier le sens de variation de cette fonction sur son ensemble de définition.
2°) On sait que ln2 ≈ 0,693 et que ln7 ≈ 1,946 .
Sans utiliser de calculatrice précisez si l'équation ln x =1,5 admet une solution dans l'intervalle [2;7] et justifiez votre réponse.
3°) Déterminez le plus petit entier n tel que (1,025)n > 2, en résolvant l’inéquation.

Ce que j'ai fait :
1) ln'(x) = 1/X. Elle est comprise en 0 et l'infini et 0 est non compris. C'est pourquoi elle sera strictement positive et donc croissante
2) Si x > 0 on a
Ln a = b ==> a = e (exposant) b
alors Ln x = 1,5 ==> x = e (exposant) 1,5
Pour le 3) je sèche…
J'espère vraiment que vous pourrez m'aider, ceci dit je comprendrais si vous ne vouliez pas..

Sagot :

tommus

Réponse :

1) [tex](ln(x))'=\dfrac{1}{x}[/tex]. Puisque [tex]x \in ]0;+ \infty[[/tex], alors [tex]\dfrac{1}{x} >0[/tex], ce qui montre que la fonction ln est strictement croissante sur [tex]]0;+\infty[[/tex].

2) Par ce qui précède, ln est une fonction strictement croissante et elle est continue sur son ensemble de définition, donc sur [2;7]. De plus, ln(2) < 1,5 < ln(7). Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe [tex]\alpha \in [2;7][/tex] tel que [tex]ln(\alpha )=1,5[/tex].

3)

[tex](1,025)^n>2\\\iff ln(1,025^n) > ln(2)\\\iff nln(1,025)>ln(2)\\\iff n > \dfrac{ln(2)}{ln(1,025)} \\\iff n > 28,07[/tex]

Le plus petit entier n cherché est donc 29.

On utilise :

  • La stricte croissance de ln pour la 2ème ligne
  • ln(x^n) = nln(x) pour la deuxième ligne
  • ln(1,025)>0 car ln(1,025)>ln(1)=0 et ln strictement croissante
Merci de votre visite. Nous nous engageons à fournir les meilleures informations disponibles. Revenez quand vous voulez pour plus. Nous espérons que vous avez trouvé ce que vous cherchiez. Revenez nous voir pour obtenir plus de réponses et des informations à jour. Votre connaissance est précieuse. Revenez sur Laurentvidal.fr pour obtenir plus de réponses et d'informations.