Bonjour, on utilise la formule [tex]\sin(2x)=2 \sin(x) \cos(x)[/tex].
Il vient :
[tex]\frac{\sin(2x)}{\sin(x)-5x}=\frac{2\cos(x)}{1-5\frac{x}{\sin(x)}}[/tex]
Or, par croissances comparées : [tex]\frac{x}{\sin(x)} \to_{x \to 0} 1[/tex]
et, par continuité de cos en 0 : [tex]\cos(x) \to_{x \to 0} \cos(0)=1[/tex]
Ainsi :
[tex]\underset{x \to 0}{\text{lim}}\frac{\sin(2x)}{\sin(x)-5x}=\frac{2}{1-5}=\frac{-1}{2}[/tex].
(Plus simplement, si tu connais les DL, tu peux écrire :
[tex]\frac{\sin(2x)}{\sin(x)-5x}=\frac{2x +o(x)}{-4x+o(x)}=\frac{-1}{2}+o(1)[/tex], et retrouver ainsi -1/2.)
