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Sagot :
Exercice 1.
1) [tex]3k, k \in \mathbb{N}[/tex]
2) Soient [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] deux multiples de 3. Il existe alors [tex]k \in \mathbb{N}[/tex] et [tex]k' \in \mathbb{N}[/tex] tels que [tex]a=3k[/tex] et [tex]b=3k'[/tex]. Alors [tex]a+b=3k+3k'=3(k+k')[/tex]. Ainsi, [tex]a+b[/tex] est un multiple de 3. Autrement dit, la somme de deux multiples de 3 est un multiple de 3.
3) Pour la différence, en remplaçant tous les "+" par "-", tu aboutis à la même chose. La différence de deux multiples de 3 est donc un multiple de 3.
4) Soient [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] deux multiples de 3. Il existe alors [tex]k \in \mathbb{N}^*[/tex] et [tex]k' \in \mathbb{N}^*[/tex] tels que [tex]a=3k[/tex] et [tex]b=3k'[/tex]. Alors [tex]a \times b=3k\times3k'=9kk' = 3 \times 3kk'[/tex]. Ainsi, [tex]a\times b[/tex] est un multiple de 3. Autrement dit, le produit de deux multiples de 3 est un multiple de 3.
5) 15 est un multiple de 3 ; 3 est un multiple de 3 ; mais leur quotient n'est pas un multiple de 3. En effet, [tex]\dfrac{15}{3} =5[/tex] et 5 n'est pas un multiple de 3. Le quotient de deux multiples de trois n'est pas toujours un multiple de 3.
Exercice 2.
1) [tex]2k, k \in \mathbb{N}[/tex] pour un nombre pair et [tex]2k+1, k \in \mathbb{N}[/tex] pour un nombre impair.
2) Soient [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] deux nombres pairs. Il existe alors [tex]k \in \mathbb{N}[/tex] et [tex]k' \in \mathbb{N}[/tex] tels que [tex]a=2k[/tex] et [tex]b=2k'[/tex]. Alors [tex]a+b=2k+2k'=2(k+k')[/tex]. Ainsi, [tex]a+b[/tex] est un nombre pair. Autrement dit, la somme de deux nombre pairs donne un nombre pair.
Soient [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] deux nombres impairs. Il existe alors [tex]k \in \mathbb{N}[/tex] et [tex]k' \in \mathbb{N}[/tex] tels que [tex]a=2k+1[/tex] et [tex]b=2k'+1[/tex]. Alors [tex]a+b=2k+1+2k'+1=2k+2k'+2=2(k+k'+1)[/tex]. Ainsi, [tex]a+b[/tex] est un nombre pair. Autrement dit, la somme de deux nombres impairs donne un nombre pair.
Soient [tex]a[/tex] un nombre pair et [tex]b[/tex] un nombre impair. Il existe alors [tex]k \in \mathbb{N}[/tex] et [tex]k' \in \mathbb{N}[/tex] tels que [tex]a=2k[/tex] et [tex]b=2k'+1[/tex]. Alors [tex]a+b=2k+2k'+1=2k+2k'+1=2(k+k')+1 = 2K+1[/tex] avec [tex]K=k+k'[/tex]. Ainsi, [tex]a+b[/tex] est un nombre impair. Autrement dit, la somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est un nombre impair.
Soient [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] deux nombres impairs. Il existe alors [tex]k \in \mathbb{N}[/tex] et [tex]k' \in \mathbb{N}[/tex] tels que [tex]a=2k+1[/tex] et [tex]b=2k'+1[/tex]. Alors [tex]a \times b=(2k+1)(2k'+1) = 4kk' + 2k + 2k' + 1 = 2(2kk' + k + k') + 1 = 2K+1[/tex]avec [tex]K=2kk' + k + k'[/tex]. Ainsi, [tex]a \times b[/tex] est un nombre pair. Autrement dit, le produit de deux nombres impairs donne un nombre impair.
3) Soit [tex]a[/tex] un nombre pair. Il existe alors [tex]k \in \mathbb{N}[/tex] tel que [tex]a=2k[/tex]. [tex]a^2=(2k)^2=4k^2=2 \times 2k^2[/tex]. Donc [tex]a^2[/tex] est pair. Le carré d'un nombre pair est pair.
Le carré d'un nombre impair est impair : c'est un cas particulier du dernier point de la question précédente (produit de deux nombres impairs).
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