1) On note [tex]B_1[/tex] et [tex]B_2[/tex] les événements : "On tire une boule blanche au premier (resp. deuxième) tirage."
L'arbre pondéré aura deux flèches :
- Première flèche (probabilité : 3/5) : [tex]B_1[/tex]
---> 1re flèche (proba. 1/2) : [tex]B_2[/tex]
---> 2e flèche (proba. 1/2) : [tex]\overline{B_2}[/tex]
- Deuxième flèche (proba. 2/5) : [tex]\overline{B_1}[/tex]
---> 1re flèche (proba. 3/4) : [tex]B_2[/tex]
----> 2e flèche (proba. 1/4) : [tex]\overline{B_2}[/tex]
2)a) (X=1) est l'événement correspondant à une boule exactement tirée.
[tex]\mathbb{P}(X=1)=\mathbb{P}(B_1) \times \mathbb{P}_{B_1}{\overline{B_2}} +\mathbb{P}(\overline{B_1}) \times \mathbb{P}_{\overline{B_1}}{B_2}}[/tex] [tex]=\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} +\frac{2}{5} \times \frac{3}{4}=\frac{3}{5}[/tex]
b) Soit directement :
[tex]\mathbb{P}(X \ge 1)=\mathbb{P}(X=1)+\mathbb{P}(X=2)=\frac{3}{5}+\frac{1}{10}=\frac{7}{10}[/tex]
Soit par l'événement contraire :
[tex]\mathbb{P}(X \ge 1)=1- \mathbb{P}(X<1)=1-\mathbb{P}(X=0)=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}[/tex]
Cela signifie qu'on a 7 chances sur 10 de tirer au moins une boule noire.
c) [tex]X(\Omega)=\{0,1,2\}[/tex]
[tex]\mathbb{P}(X=0)=\frac{3}{10}[/tex]
[tex]\mathbb{P}(X=1)=\frac{3}{5}[/tex]
[tex]\mathbb{P}(X=2)=\frac{1}{10}[/tex]
d) [tex]E(X)=\frac{4}{5}[/tex] donc [tex]V(x)=0[/tex].
3)a) X est le nombre de boules noires tirées et Y le nombre de boules blanches tirées. Comme on tire deux boules au total, X+Y=2.
b) Comme on mise 3 euros au départ :
[tex]G=3X-2Y-3=3X-2(2-X)-3=5X-7[/tex]
c) Par linéarité de l'espérance :
[tex]E(G)=5E(X)-7=-3[/tex]
Le jeu n'est pas équitable car, en moyenne, on perd 3 euros.
4)a) Comme précédemment :
[tex]G=nX-2Y-1=nX-2(2-X)-1=(n-2)X-5[/tex]
b) [tex]E(G)=(n-2)E(X)-5=\frac{4(n-2)}{5}-5[/tex]
et on veut, pour que le jeu soit équitable, E(G)=0
d'où : [tex]n-2=frac{25}{4} \iff n=\frac{33}{4}=8,25[/tex]
