On rappelle la formule de Taylor-Young. Si f est [tex]C^{\infty}[/tex] sur l'intervalle travaillé, alors f admet un DL d'ordre n en a et :
[tex]f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...+\dfrac{f^{(n)}(a)(x-a)^n}{n!} + o((x-a)^n)[/tex]
Si a = 0 :
[tex]f(x)=f(0)+f'(0)x+...+\dfrac{f^{(n)}(0)x^n}{n!} + o(x^n)[/tex]
A l'ordre 4 :
[tex]f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0) \dfrac{x^2}{2!} + f'''(0) \dfrac{x^3}{3!} + f''''(0) \dfrac{x^4}{4!} + o(x^4)[/tex]
On calcule :
[tex]f(x) = \dfrac{1}{1+x} \textbf{ et } f(0)=1[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{-1}{(1+x)^2} \textbf{ et } f'(0)=-1[/tex]
[tex]f''(x) = \dfrac{2x+2}{(1+x)^4} \textbf{ et } f''(0) = 2[/tex]
[tex]f'''(x) = \dfrac{-6-24x-36x^2-24x^3-6x^4}{(1+x)^8} \textbf{ et } f'''(0)=-6[/tex]
[tex]f''''(x) = \dfrac{(-24-72x-72x^2-24x^3)(1+x)^8 + (6+24x+36x^2+24x^3+6x^4)(8+...)}{(1+x)^{16}}[/tex]Inutile de tout calculer car on s'arête à l'ordre 4. On a f''''(0) = 24.
On applique la formule :
[tex]f(x) = 1 + (-1)x + 2\dfrac{x^2}{2!} + (-6)\dfrac{x^3}{3!} + 24\dfrac{x^4}{4!} + o(x^4)[/tex]
Or, 2! = 2 ; 3! = 6 et 4! = 24, donc
[tex]f(x)= 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 + o(x^4)[/tex]
